Puntos simétricos

Question

$\triangle ABC$ se da, en el que $AC > BC$ y el incirculo $k(O)$ toca $BC$ y $AC$ en $M$ y $N$ respectivamente. Punto $B_1$ es la imagen de B con respecto a la línea $CO$ . Demostrar que $M$ y $N$ son simétricos con respecto a $CO$ y $B_1M = BN$ y $AM > BN$ .

Como está en el dibujo, $B_1$ se encuentra en $AC$ pero no sé cómo mostrarlo. Para la primera parte del problema, debería mostrar que $CO$ es la bisectriz perpendicular de $MN$ . Esto se debe a que $NC=MC$ (segmentos tangentes) y $ON=OM=r$ , por lo que señala $C$ y $O$ determinar la bisectriz perpendicular de $MN$ . Denotemos $CO$ con $a$ .

$\sigma_a:B \to B_1$

$\sigma_a:M \to N$ (aquí no estoy seguro de si hay una diferencia con $N \to M$ (y si lo hay estaría muy agradecido si alguien me lo pudiera explicar)

No sé cómo mostrar las siguientes cosas. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Es mejor denotar el incentro por $I$ y dejar $O$ para el circuncentro. En fin:

No hay ninguna diferencia al utilizar $\sigma_a\colon M\mapsto N$ o $N\mapsto M$ ya que $\sigma_a$ es una involución (es decir, hacerlo dos veces te devolverá el punto original). Sin embargo, en nombre de la coherencia, es mejor utilizar $N\mapsto M$ ya que utilizó $B\mapsto B_1$ antes, para la siguiente línea:

• $\sigma_a$ mapea el segmento $BN$ al segmento $B_1M$ Por lo tanto $B_1M=BN$ .

Por último, para mostrar $AM>BN$ , tenga en cuenta que $CB_1B$ es isósceles, por lo que $\angle AB_1B$ es obtuso. Así, $\angle AB_1M$ también es obtuso, y $$AM^2>B_1M^2+AB_1^2>B_1M^2=BN^2.$$