¿Por qué se contrae un determinado mapa entre esferas?

Question

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ Estoy tratando de entender un paso en una demostración del siguiente lema (la demostración es aquí (lema 2.7, pág. 6):

(Este lema proporciona una forma de demostrar Teorema de Kirszbraun ).

Lema: Sea $\{x_1 , \dots, x_k \}$ sea una colección finita de puntos en $\R^n$ y que $\{y_1 , \dots, y_k \}$ sea una colección de puntos en $\R^m$ tal que $$|y_i − y_ j | ≤ |x_ i − x_ j | \, \text{ for all } \, i, j \in \{1, . . . , k\}.$$ Si $r_ 1 , \dots , r_ k$ son números positivos tales que $$ \cap_{i=1}^k \bar B(x_ i , r _i ) \neq \emptyset, $$ entonces $$ \cap_{i=1}^k \bar B(y_ i , r _i ) \neq \emptyset .$$

Esto es lo que ocurre en la prueba:

Definir $$G:\R^m \to \R, \,G(y)= \max_{i=1,\dots,k} \frac{|y − y _i |}{r _i}$$

$G: \R^m \to \R$ es una función continua que satisface $G(y) \to \infty$ como $|y| \to \infty$ . Por lo tanto, $G$ alcanza su mínimo en un punto $w \in \R^ m$ y tenemos que demostrar que $G(w) \le 1$ .

Supongamos por contradicción que $G(w) := \lambda >1$ . Dejemos que $J$ denotan esos índices $j \in \{1, . . . , k\}$ para lo cual $|w − y _j | = r _j λ$ . Elige un punto $$x \in\cap_{j \in J} \bar B(x _j , r _j ) ,$$

y considerar los dos conjuntos siguientes: $$D=\{ \frac{x _j − x}{|x _j − x|} |\, j \in J\} \subseteq \mathbb{S}^{n−1},$$ $$D'=\{ \frac{y _j − w}{|y _j − w|} |\, j \in J\} \subseteq \mathbb{S}^{m−1}.$$

El autor dice que es fácil ver que el mapa natural* $D \to D'$ disminuye estrictamente el Euclidiano distancias.

¿Por qué es así?

*El mapa natural significa que mantenemos los índices.

Answer 1

Problema : En $V:=\mathbb{R}^m$ , $$1\leq i\leq m,\ p^i,\ q^i\in V,\ |p^ip^j|\geq |q^iq^j| $$ Entonces $$ \bigcap\ B_{R_i}(p^i)\ni w_0 \Rightarrow \bigcap\ B_{R_i}(q^i)\neq \emptyset\ \ast $$

Nota : Este es un caso especial de Breham : En el anterior, hay se preserva la distancia a trozos $f$ s.t. $f(p^i)=q^i$ Sin embargo, no utilizamos su prueba.

Referencia : Alexandrov meets Kirszbraun - S. Alexander, V. Kapovitch, A. Petrunin. Trata el caso más general caso

Prueba :

Notación : En $\mathbb{R}^n$ , $$ w\preceq z \Leftrightarrow w_i\leq z_i $$

$\mathcal{X}=\mathbb{R}^m$ es un espacio métrico con la métrica euclidiana estándar euclidiana estándar. Definir $$ {\bf f} :=(f^0,\cdots, f^k) : \mathcal{X}\rightarrow \mathbb{R}^{k+1} $$

Dejemos que $f^i(w)=\frac{1}{2}|w-p^i|^2$ que es convexo

Definir $$Q\subset V,\ {\rm SupSet}\ Q : =\bigg\{ z\in V\bigg| \exists w\in Q\ {\rm s.t.}\ z\succeq w \bigg\} $$

(1) ${\rm SupSet}\ {\bf f}\ (\mathcal{X})$ es convexo

Prueba : Convexidad de $f^i$ implica que \begin {align*} {align*} \bf f} (tw+(1-t)z) & \preceq t { \bf f} (w) + (1-t) { \bf f} (z) \end {align*} por la desigualdad de Schwartz.

(2) Si $g^i(w) :=\frac{1}{2} |w-q^i|^2$ tenemos un reclamo que $$ {\rm SupSet }\ {\bf g}(\mathcal{X})\ni {\bf f}(w_0) $$ donde $w_0$ es el vector en $\ast$

Prueba : Si no hay un hiperplano de apoyo $$\sum_i\alpha_ix_i=c$$ a ${\rm SupSet} \ {\bf g}(\mathcal{X})$ separándolo de ${\bf f}(w_0)$

Por lo tanto, $$ \sum_i \alpha_i f^i(w_0) < c={\rm inf}\ \bigg\{ \sum_i\alpha_i g^i(w)|w\in \mathcal{X} \bigg\}\ \ast\ast $$

Por lo tanto, si $$ F:=\sum_i \alpha_i f^i,\ G:= \sum_i\alpha_i g^i $$ tenemos una reclamación que $$ F(w_F)\geq G(w_G)$$ lo que contradice a $\ast\ast$ , donde $w_F,\ w_G$ son puntos mínimos respectivamente

Prueba de reclamación : Si $${\rm Dir}\ p^i -w_F =\frac{p^i -w_F}{|p^i -w_F |},$$ entonces \begin {align*} 0 &=d_{w_F} F\ {{} \rm Dir}\ (p^i -w_F) \\ &= - \frac {1}{2|p^i -w_F|} \sum_j \alpha_j |p^i-w_F|^2+ |p^j-w_F|^2 - |p^i-p^j |^2 \} \ ({ \rm cf. Ley del Coseno}) \\ & \\ 2 F(w_F)&= \sum_ {i,j} \alpha_i\alpha_j |p^i-p^j|^2 \end {align*}