orden de $\langle (123) , (234) \rangle$

Question

Como tarea el profesor nos pide que determinemos cuántos elementos hay en $\langle (123) , (234) \rangle \subset S_4$ .

He empezado a hacer todas las multiplicaciones entre los elementos, y he contado hasta ahora $9$ diferentes elementos. Pero creo que hay una manera más fácil de determinar el orden de este subgrupo de $S_4$ . Mi argumento es:

$(123)$ , $(234)$ son permutaciones pares, por lo que sólo pueden generar permutaciones pares. Así que nuestro subgrupo tiene como máximo $12$ elementos. He contado hasta ahora $9$ elementos distintos, por lo que utilizando el Teorema de Lagrange debe tener 12 elementos.

¿Es correcto este argumento?

Answer 1

Sí, su argumento es correcto. Si conoces el estabilizador de órbita, aquí tienes un método más rápido: Estas dos permutaciones pueden mover 1 a 2 a 3 a 4, así que el subgrupo de elementos que mueven 1 a 1 tiene índice 4 y 4 divide el orden del grupo. También hay un elemento de orden 3, por lo que Lagrange dice que 3 divide el orden del grupo, y por tanto 12 divide el orden del grupo. Como todas las permutaciones son pares, es un subgrupo del grupo alterno, que tiene orden 12. La única posibilidad es que sea el grupo alterno.