aproximado $\int_{0}^{0.5}{\frac{\sin(x)}{x}}dx$

Question

Utilizando la serie de Maclaurin, aproxima el valor de

$$\int_{0}^{0.5}{\frac{\sin(x)}{x}}dx$$

dentro de un error $0.0001$ , donde $x$ está en radianes.

Mi intento:

Como sabemos que la serie Maclaurin de $\sin(x)$ , sustituyéndola en la integral, simplificada e integrada, obtengo

$$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n (0.5)^{2n+1}}{(2n+1)!(2n+1)}}$$

Pregunta: ¿Qué $f(x)$ ¿debo utilizar para estimar la serie anterior? Tenga en cuenta que el resto de Taylor tiene que ser utilizado en alguna parte.

Answer 1

Si tenemos eso $\sum_{k\geq0}\left(-1\right)^{k}a_{k} $ tal que $\lim_{k\rightarrow\infty}a_{k}=0 $ y $a_{k+1}<a_{k} $ tiene $$\left|R_{N}\right|=\left|\sum_{k=N+1}^{\infty}\left(-1\right)^{k}a_{k}\right|<a_{N+1}. $$ Así que hay que tener en cuenta que $$\frac{0.5^{5}}{5!5}\simeq0.0000520 $$ por lo que se puede aproximar su valor con $$\sum_{k=0}^{1}\frac{\left(-1\right)^{k}\left(0.5\right)^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!\left(2k+1\right)}. $$

Answer 2

Aprovechando que se trata de una serie alterna para acotar el error.

$$f(x)={\frac{\sin(x)}{x}}$$

$$\int f(x) \, dx \approx x-\frac{x^3}{18}+\frac{x^5}{600}-\frac{x^7}{35280}+...-$$

Truncando la serie en el $x^5$ plazo.

$$x-\frac{x^3}{18}+\frac{x^5}{600} \text{ with } x = \frac{1}{2} \approx .49310763888$$

Utilizando el último término como estimación del error obtenemos:

$$\frac{x^7}{35280} \text{ with } x = \frac{1}{2} \approx .00000022144$$

Por la regla de que el error es menor que el primer término despreciado de una serie alterna sabemos que el error es menor que .0000002. Podemos utilizar .493107 como una estimación de la integral requerida.