Teorema de Van Kampen con el toro y el plano proyectivo

Question

Tengo problemas para encontrar los conjuntos $U$ y $V$ para usar en este problema.

Dejemos que $T = S^1 \times S^1$ sea el toroide y $P=S^2/(x \sim -x)$ el plano proyectivo. Forma el espacio $X$ identificando el círculo $S^1 \times \{ x_0 \}$ en $T$ con la imagen del ecuador en $P$ por un homeomorfismo. Encuentra una presentación de $\pi_1(X)$ utilizando el teorema de van Kampen.

Answer 1

Utilizaré los teoremas 10.1 y 10.3 del libro de Lee, con $U$ y $V$ como en los comentarios. Entonces recuerde que \begin {align*} \pi_1 (U) &= \langle x,y||; xyx^{-1}y^{-1} \rangle \simeq \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \\ \pi_1 (V) &= \langle z\N-||;z^2 = 1 \rangle \simeq \mathbb {Z}_2 \\ \pi_1 (U \cap V) &= \langle w \;|\; \varnothing\rangle \simeq \mathbb {Z} \end {align*} Por el Teorema 10.1, llamando a nuestro espacio principal $X$ tenemos $$ \pi_1(X) \simeq \pi_1(U) \ast_{\pi_1(U\cap V)} \pi_1(V) $$ y luego el Teorema 10.3 nos da una forma de escribir realmente este producto amalgamado: $$ \pi_1(X) \simeq \pi_1(U) \ast_{\pi_1(U\cap V)} \pi_1(V) \simeq \langle x,y,z\;|; xyx^{-1}y^{-1}, z^2, z=x^2\rangle $$ EDIT: El teorema 10.1 es sólo el enunciado de SVK y el teorema 10.3 es el siguiente:

[Presentación de un producto libre amalgamado] Deja $f_1:H \to G_1$ y $f_2:H \to G_2$ sean homomorfismos de grupo. Supongamos que $G_1, G_2$ y $H$ tienen las siguientes presentaciones finitas: \begin {align*} G_1 & \simeq \langle \alpha_1 , \ldots , \alpha_m \;|\; \rho_1 , \ldots , \rho_r\rangle ; \\ G_2 & \simeq \langle \beta_1 , \ldots , \beta_n\ ;|\; \sigma_1 , \ldots , \sigma_s\rangle ; \\ H& \simeq \langle \gamma_1 , \ldots , \gamma_p\ ;|\; \tau_1 , \ldots , \tau_t\rangle \end {align*} Entonces el producto libre amalgamado tiene la presentación $$ G_1 \ast_H G_2 \simeq \langle \alpha_1,\ldots, \alpha_m,\beta_1,\ldots, \beta_b\;|\; \rho_1,\ldots, \rho_r,\sigma_1,\ldots,\sigma_s, u_1=v_1,\ldots,u_p=v_p\rangle, $$ donde $u_a$ es una expresión para $f_1(\gamma_a) \in G_1$ en términos de los generadores $\lbrace\alpha_i\rbrace$ y $v_a$ expresa de forma similar $f_2(\gamma_a) \in G_2$ en términos de $\lbrace \beta_j\rbrace$ .