Dimensión de la variedad algebraica si conocemos la dimensión de los componentes irreducibles

Question

Tengo un poco de problemas para encontrar la dimensión de un conjunto algebraico. En general sé que es el sumo de los enteros $n$ tal que existe una cadena $Z_0 \subset Z_1 \subset ... \subset Z_n$ de subconjuntos cerrados irreducibles distintos.

En el ejercicio que estoy haciendo, sé que el conjunto algebraico con el que estoy trabajando es reducible. También sé que la dimensión de cada componente irreducible del conjunto algebraico es $2$ . ¿Implica esto que la dimensión del conjunto algebraico es $2$ ?

Esto no me parece correcto. Espero que alguien pueda ayudarme.

Answer 1

No, la dimensión de cualquier conjunto algebraico será el máximo de las dimensiones de los componentes irreducibles. Esto se debe a que cualquier cadena $Z_0 \subset \dots \subset Z_n$ de subconjuntos cerrados irreducibles estarán todos dentro de algún componente irreducible, por la definición de irreducibilidad.

Esto significa que la dimensión de su conjunto algebraico es $2$ no $0$ .

Como nota adicional, esto es incluso cierto para subconjuntos cerrados y no componentes irreducibles: si $Z$ es la unión de dos subconjuntos cerrados $X$ y $Y$ entonces la dimensión de $Z$ es el máximo de $\dim X$ y $\dim Y$ .