Mapa diferencial del vector velocidad

Question

Esta es una pregunta muy básica de geometría diferencial (por favor, tened paciencia, estoy aprendiendo) Me dan la definición del mapa diferencial de $\phi:M \to N$ como

$$d\phi_p(v)(g)=v(g\circ\phi)$$

donde $v\in T_pM$ es un vector y $g$ es una función suave en $N$ y también conozco la regla de la cadena para estos. (Supongo que tengo que usarla, pero no veo cómo hacerlo todavía)

Ahora, hemos definido los vectores tangentes como derivaciones y sólo más tarde aprendí que un vector de velocidad a una curva en un punto particular de la variedad se encuentra en el espacio tangente a ese punto. Sea la curva $\alpha(t)$ y su vector tangente $\alpha '(t)$ . Ahora bien, se acaba de indicar que al empujar hacia adelante el vector velocidad, debo hacerlo así

$$d \phi (\alpha'(t))=(\phi\circ\alpha)'(t)$$

Pero no puedo derivar, por qué este es el camino correcto y en particular también estoy zumbado por el hecho de que no tengo que preocuparme más por un punto en particular. Este pushforward parece funcionar bien para cada $t\in \mathbb{R}$ mientras que arriba tuve que especificar el punto $p$ y mi referencia lo dice explícitamente: El mapa diferencial de $\phi: M \to N$ mueve los vectores tangentes individuales de $M$ a $N$ pero, en general, no proporciona ninguna forma de mover el vector campos de $M$ a $N$ (o al revés).

Entonces, ¿por qué funciona para todas las tangentes a la curva?

Answer 1

Si $\alpha:I \to M$ es una curva definida en un intervalo abierto, entonces $I$ es una variedad suave con una carta global $t\colon I \to \Bbb R$ por lo que, por definición, tenemos $$\alpha'(t) \doteq {\rm d}\alpha_t\left(\frac{\partial}{\partial t}\bigg|_t\right) \in T_{\alpha(t)}M.$$ Aquí, bajo la identificación $T_tI \cong \Bbb R$ el vector de coordenadas $\partial/\partial t|_t$ corresponde al número $1$ . Entendido esto, si $\phi\colon M \to N$ es suave, tenemos que $\phi\circ\alpha\colon I \to N$ es una curva, y la definición anterior aplicada esta vez para $\phi\circ \alpha$ da $$(\phi\circ\alpha)'(t) = {\rm d}(\phi\circ\alpha)_t\left(\frac{\partial}{\partial t}\bigg|_t\right) = {\rm d}\phi_{\alpha(t)} \circ {\rm d}\alpha_t\left(\frac{\partial}{\partial t}\bigg|_t\right) = {\rm d}\phi_{\alpha(t)}(\alpha'(t))\in T_{\phi(\alpha(t))}N,$$ donde en el segundo signo de igualdad se utiliza la regla de la cadena, y en el último la definición de $\alpha'(t)$ de nuevo. Si lo que te molesta es escribir ${\rm d}\phi(\alpha'(t))$ sin indicar el punto base $\alpha'(t)$ La razón de esto es que en realidad no es necesario escribirlo, porque a pesar de ser un leve abuso de la notación, no hay otra posibilidad para el punto base ya que se sabe que $\alpha'(t)\in T_{\alpha(t)}M$ y que los espacios tangentes distintos son disjuntos.