Dejemos que $A$ sea un anillo factorial. ¿Es cierto el siguiente resultado en esta generalidad: si $a|bc$ y $a$ , $b$ son coprimos entonces $a|c$ ? Sería estupendo si esto fuera cierto, pero no lo soy en absoluto. Creo que la prueba clásica debería pasar por
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JMoravitz
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Como estamos trabajando en un anillo factorial (lo que aprendí a llamar un dominio de factorización único ), tenemos que cada elemento puede escribirse como un producto de irreducibles y si dos de esos productos son iguales entonces hay una biyección entre términos siendo cada uno un asociado del otro.
Además, para la definición de coprimo, queremos decir que si $a$ es coprima de $b$ que ningún divisor de $a$ también es un divisor de $b$ y viceversa (a excepción de una unidad). Es decir, en las factorizaciones, ninguna de $a$ son asociados a cualquiera de los factores de $b$ de los factores.
Dejemos que $a = a_1a_2\dots a_n$ , $b = b_1b_2\dots b_o$ , $c=c_1c_2\dots c_p$
$a|bc \Rightarrow ka = bc\Rightarrow k_1k_2\dots k_ma_1a_2\dots a_n=b_1b_2\dots b_oc_1c_2\dots c_p$
Desde $a$ es coprima de $b$ , lo que significa que ninguno de $a_1,a_2,\dots,a_n$ son asociados a $b_1,b_2,\dots,b_o$ Sin embargo, cada uno de $a_1,a_2,\dots,a_n$ debe estar asociado a algo en el lado derecho de la ecuación, lo que implica que cada uno de $a_1,a_2,\dots,a_n$ son asociados a alguna colección de $c_1,c_2,\dots,c_p$ (no necesariamente todos).
Como tal, por una permutación de índices y por agrupación de unidades, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $a_1 = uc_1, a_2 = c_2, a_3 = c_3,\dots, a_n = c_n$ con $n\leq p$ y $u$ una unidad.
Así, $a(u\prod_{i=n+1}^p c_i) = c$ y por lo tanto $a|c$ .
Sí, sigue siendo cierto en cualquier UFD (o cualquier dominio gcd), pero no se puede utilizar la prueba clásica a través de la identidad gcd Bezout ya que las UFDs no necesitan ser Bezout. Aquí hay un par de pruebas alternativas.
$\qquad a\mid bc\,\Rightarrow\,a\mid ac,bc\,\Rightarrow\, a\mid (ac,bc) = \overbrace{(a,b)}^{\large =\,1}c = c\, $ por el Ley distributiva gcd.
O, por inducción en $\,n\,$ = #factores primos de $\,a.\,$ Despejar si $\,n=0\,$ desde entonces $\,a\,$ es una unidad así que $\,a\mid c.\,$ Si no $\,a = pd\,$ para un primer $\,p\,$ y $\,(p,b)=1,\,\ p\mid bc\,\Rightarrow\, p\mid c.\,$ Así, $\,d\mid b(c/p)\,$ así que por inducción $\,d\mid c/p,\,$ así $\,a=pd\mid c.$
A.P.
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Si por "anillo factorial" se entiende un dominio de factorización único entonces la prueba es fácil. Sólo hay que tener en cuenta que si $p \mid a$ y $p$ es primo, entonces $p \nmid b$ por hipótesis, así que $p \mid c$ .
Esto se debe a que, por definición, un elemento primo es un $p$ de manera que si $p \mid bc$ entonces $p \mid b$ o $p \mid c$ . Obsérvese también que en un UFD todo elemento irreducible, es decir, todo elemento que no es el producto de dos elementos no invertibles, es primo.
