Versión ponderada de la desigualdad de Karamata

Question

Estoy buscando una prueba de la versión ponderada de la desigualdad como lo siguiente.

Dejemos que $I$ sea un intervalo de la recta real y sea $f$ denota una función convexa de valor real definida en $I$ .

Si $x_1, . . . , x_n$ y $y_1, . . . , y_n$ son números en $I$ tal que:

1. $x_1 \ge x_2 \ge x_3...\ge x_n,$ y $y_1 \ge y_2 \ge y_3...\ge y_n$

2. $x_1+...+x_i \ge y_1+...+y_i$ y $x_{i+1}+...+x_n \le y_{i+1}+...+y_n$ para $i=1,...,n-1$

3. Dejemos que $\lambda_i >0$ y $\sum_1^{n} \lambda_i =1$

Pues demuéstralo:

$$\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+...+\lambda_nf(x_n)-f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+...+\lambda_nx_n) \ge \lambda_1f(y_1)+\lambda_2f(y_2)+...+\lambda_nf(y_n)-f(\lambda_1y_1+\lambda_2y_2+...+\lambda_ny_n)$$

La desigualdad se mantiene con igualdad si y sólo si $x_i=y_i$ para todos $i \in {1, 2,...,n}$

Observación:

Si $\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+....+\lambda_nx_n=\lambda_1y_1+\lambda_2y_2+....+\lambda_ny_n$

Entonces tenemos la versión ponderada de la desigualdad de Karamata :

$\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+...+\lambda_nf(x_n) \ge \lambda_1f(y_1)+\lambda_2f(y_2)+...+\lambda_nf(y_n)$

Answer 1

Esto es falso por algunas razones estúpidas. Digamos que si $\lambda_1=\lambda_n=0$ entonces lo que tenemos que demostrar no depende de $x_1,x_n,y_1,y_n$ pero cambiando estas cuatro variables por otras fijas podemos satisfacer fácilmente todas las condiciones.