(Nota: Este post es una derivación de este pregunta anterior .)
El tema de Números perfectos de impar probablemente no necesita presentación.
Denota el suma de divisores del número entero positivo $x$ por $\sigma(x)$ y denota el índice de abundancia de $x$ por $I(x)=\sigma(x)/x$ .
Euler demostró que un número perfecto impar $n$ si existe, debe tener la forma $$n = p^k m^2$$ donde $p$ es el primo especial de Euler que satisface $p \equiv k \equiv 1 \pmod 4$ y $\gcd(p,m)=1$ .
Descartes, Frenicle y posteriormente Sorli conjeturaron que $k=1$ siempre se mantiene.
Aquí está mi pregunta :
En $p \leq P$ seguir de $$I(p^k)+I(m^2) \leq 3 - \bigg(\frac{p-1}{p(p+1)}\bigg),$$ si $p^k m^2$ es un número perfecto impar con primo especial $p$ en la que fijamos $$0 < \varepsilon = \frac{p-1}{p(p+1)}$$ y $P$ es alguna constante finita?
MI INTENTO
Obsérvese que la desigualdad $$I(p^k)+I(m^2) \leq 3 - \bigg(\frac{p-1}{p(p+1)}\bigg)$$ se mantiene en general, ya que $$\bigg[I(p^k) - \frac{2p}{p+1}\bigg]\bigg[I(m^2) - \frac{2p}{p+1}\bigg] \geq 0$$ se desprende de $$I(p^k) < I(m^2) = \frac{2}{I(p^k)} \leq \frac{2}{I(p)} = \frac{2p}{p+1}.$$
Además, observemos que obtenemos la cota superior $$\varepsilon = \frac{p-1}{p(p+1)} = \bigg(1 - \frac{1}{p}\bigg)\bigg(\frac{1}{p+1}\bigg) < \frac{1}{p + 1} \leq \frac{1}{6},$$ desde $p$ es primo con $p \equiv 1 \pmod 4$ implica que $p \geq 5$ .
Ahora calculamos para $p$ en términos de $\varepsilon$ :
$$\varepsilon p^2 + p(\varepsilon - 1) + 1 = 0$$ $$p = \frac{(1-\varepsilon) \pm \sqrt{(1-\varepsilon)^2 - 4\varepsilon}}{2\varepsilon}$$
Esto da $$p = \frac{(1-\varepsilon) \pm \sqrt{{\varepsilon}^2 - 6\varepsilon + 1}}{2\varepsilon}.$$
Citando textualmente a [Observación 11, página 5 de El índice de abundancia de los divisores de los números perfectos Impares de Dris (JIS, 2012)] : Observación 11 . Como señaló Joshua Zelinsky en 2005: "Cualquier mejora en el límite superior de $3$ tendría implicaciones (similares) para todos los primos arbitrariamente grandes y, por tanto, sería un resultado muy importante". (por ejemplo $L(p) < 2.99$ implica $p \leq 97$ .) En este sentido, la desigualdad $$\frac{57}{20} < I(p^k) + I(m^2) < 3$$ es el mejor posible.
He intentado utilizar WolframAlpha para obtener los máximos globales de las dos funciones $$p(\varepsilon_1) = \frac{(1-\varepsilon_1) + \sqrt{{\varepsilon_1}^2 - 6{\varepsilon_1} + 1}}{2\varepsilon_1}$$ y $$p(\varepsilon_2) = \frac{(1-\varepsilon_2) - \sqrt{{\varepsilon_2}^2 - 6{\varepsilon_2} + 1}}{2\varepsilon_2},$$ pero los resultados no fueron útiles.
Por desgracia, aquí es donde me quedo atascado.
