Suma de procesos Ito

Question

Un proceso estocástico $X_t$ se llama proceso Ito si $X_t$ es de la forma $$X_t = X_0 + \int_0^tu_sdB_s + \int_0^t v_sds,$$ donde $B_s$ es un movimiento browniano, y $u_s, v_s$ son integrables al cuadrado y se adaptan a la filtración generada por $B_s$ .

Ahora, supongamos que tengo 2 procesos Ito conducidos por dos movimientos brownianos independientes, digamos $$X_t = X_0 + \int_0^tu_sdB_s + \int_0^t v_sds,$$ $$\tilde{X}_t = \tilde{X}_0 + \int_0^t\tilde{u}_sd\tilde{B}_s + \int_0^t \tilde{v}_sds,$$ donde $B_s$ y $\tilde{B}_s$ son dos movimientos brownianos independientes.

Podemos considerar $(X_t,\tilde{X}_t)$ como un proceso bidimensional de Ito, y por el lema de Ito $X_t + \tilde{X_t}$ también es un proceso Ito (unidimensional).

Mi pregunta es, ¿cómo podemos escribir $X_t + \tilde{X}_t$ como un proceso Ito? En concreto, quiero producir el siguiente formulario $$X_t + \tilde{X}_t = X_t + \tilde{X}_0 + \int_0^t\bar{u}_sd\bar{B}_s + \int_0^t \bar{v}_sds.$$ Pues eso, $\bar{B}_s$ puede depender de $B_s$ y $\tilde{B}_s$ . Está claro que $\bar{v}_t = v_t + \tilde{v}_t$ . Mi pregunta se refiere realmente a $\bar{B}_t$ y $\bar{v}_t$ .

Answer 1

Por lo general, se permite que el movimiento browniano conductor sea multidimensional y, en consecuencia, $u$ para que sea vectorial. Con esta convención simplemente se establece $\bar B=(B,\tilde B)$ y $\bar u=(u,\tilde u)$ .