Relación de recurrencia para el emparejamiento $2n$ personas

Question

Sé que la respuesta se supone que es $$a_{2n} = (2n-1) a_{2n-2}$$ ¿Puede alguien explicar por qué no debería tener $\binom{2n}{2}$ en lugar de $2n-1$ ?

¿No importa que dos personas estén emparejadas fuera de la $2n$ personas y, por tanto, generando un caso diferente cada vez para el resto de $(2n-2)$ ¿Gente?

Answer 1

Consideremos el problema del emparejamiento $2n$ personas Y etiquetar una de estas parejas. Entonces el número de formas es $$b_{2n}=\binom{2n}{2}a_{2n-2}$$ Esto es lo que enumeramos cuando en su fórmula tenemos $\binom{2n}{2}$ en lugar de $2n-1$ .

Dado que hay $n$ pares posibles, podemos "des-etiquetar" el par etiquetado dividiendo por $n$ : $$a_{2n}=\frac{b_{2n}}{n}=\frac{1}{n}\binom{2n}{2}a_{2n-2}=(2n-1)a_{2n-2}.$$

Answer 2

Supongamos que tiene personas numeradas de $1$ a través de $2n$ . Primero se decide quién se empareja con la persona $1$ ; hay $2n-1$ formas de hacerlo. Una vez hecho esto, te queda $2n-2$ personas, que pueden ser emparejadas en $a_{2n-2}$ diferentes maneras. Así, $a_{2n}=(2n-1)a_{2n-2}$ .