Las secuencias de $(\lambda_n)$ tal que para cada summable secuencia $(a_n)$, $(\lambda_na_n)$ también es summable.

Question

Un examen oral de ejercicio :

Encontrar todas las secuencias de $(\lambda _n)_n$ de los números reales tales que : $$\sum a_n \; \text{is convergent} \Longrightarrow \sum \lambda_n a_n \; \text{is convergent}$$

Sólo pienso en el trabajo de las secuencias son las que están delimitadas y en última instancia, de signo constante.

No he visto en el sitio, así que si usted ha visto por favor que me diga cómo se resolvería.

Gracias.

Answer 1

Las secuencias de variación acotada, debemos tener

$$\sum_{n = 0}^\infty \lvert \lambda_{n+1} - \lambda_n\rvert < +\infty.$$

Para una serie convergente $\sum a_n$, considere la secuencia de cola sumas

$$r_n = \sum_{k = n}^\infty a_k.$$

A continuación, $(r_n)$ es una sucesión convergente a $0$, y con $a_n = r_n - r_{n+1}$ de una suma por partes de los rendimientos

\begin{align} \sum_{n = 0}^N \lambda_n a_n &= \sum_{n = 0}^N \lambda_n (r_n - r_{n+1})\\ &= \sum_{n = 0}^N \lambda_n r_n - \sum_{n = 1}^{N+1} \lambda_{n-1} r_n\\ &= \lambda_0 r_0 - \lambda_N r_{N+1} + \sum_{n = 1}^N (\lambda_{n} - \lambda_{n-1}) r_n. \end{align}

Es fácil ver que el acotamiento de $(\lambda_n)$ es necesario, por lo que con la restricción se ha $\lambda_N r_{N+1} \to 0$, y

$$\sum_{n = 0}^\infty \lambda_n a_n$$

es convergente si y sólo si

$$\sum_{n = 1}^\infty (\lambda_n - \lambda_{n-1})r_n\tag{1}$$

es convergente. Desde $\sum \lambda_n a_n$ se convergen para todos los convergentes $\sum a_n$, $(1)$ deben converger para todos los $r \in c_0$ donde $c_0$ es el espacio de Banach de las secuencias convergentes a $0$, dotado con el supremum de la norma. El dual topológico de $c_0$$\ell^1$, y por el de Banach-Steinhaus teorema, una secuencia $(\mu_n)$ tal que

$$\lim_{N\to\infty} \sum_{n = 1}^N \mu_n\cdot r_n$$

existe para todas las $r\in c_0$ pertenece a $\ell^1$.

Por el contrario, es elemental ver que todas las secuencias $(\lambda_n)$ de variación acotada tiene la propiedad deseada.

Answer 2

Si $\lambda_n$ no está delimitado considerar la secuencia $$a_n=\begin{cases}{}\sum_{j=p}^q\frac1{j^2}&\text{ if }\lambda_n<p\le q\le\lambda_{n+1}\\0&\text{ otherwise}\end{cases}$$