¿Qué es la torsión en geometría diferencial intuitivamente?

Question

Hola, dada una conexión en el espacio tangente de una variedad, se puede definir su torsión: PS ¿Cuál es la imagen geométrica detrás de esta definición? ¿Qué mide la torsión intuitivamente?

Answer 1

Aquí hay otra reinterpretación del tensor de torsión que parece quizás más natural.

Considere el endomorfismo de identidad$\mathrm{id}:TM \to TM$, pero pensado como una forma 1 con valores en$TM$; es decir, PS La conexión$$\mathrm{id} \in \Omega^1(M;TM).$define una derivada covariante exterior: PS y la torsión de$\nabla$ es precisamente PS

Answer 2

Quizás, los siguientes dos hechos ayuden a comprender la torsión: 1. Dos conexiones son iguales si y solo si tienen las mismas geodésicas y torsiones iguales. 2. Para cualquier conexión existe una conexión única sin torsión con las mismas geodésicas. Esto se demuestra en Spivak, volumen II, página 249.