¿Se mantiene siempre esta igualdad?

Question

¿Es cierto en general que $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^{x} f(u,x) \mathrm{d}u = \int_0^{x} \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(u,x) \right)\mathrm{d}u +f(x,x )$ ?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Sí, lo es, en las condiciones que se indican a continuación.

Dejemos que $$I(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(u,x)\; \mathrm{d}u.\qquad(\ast)$$

Si $f(u,x)$ es una función continua y $\partial f/\partial x$ existe y es continua, entonces

$$I^{\prime }(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\partial f(u,x)}{\partial x}\; \mathrm{d}u+f(x,x)\qquad(\ast\ast)$$

se desprende del Regla de Leibniz y regla de la cadena .

Nota el integrante de $(\ast\ast)$ es una derivada parcial.

Se generaliza a la integral

$$I(x)=\displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)}f(t,x)\; \mathrm{d}t.$$

En condiciones adecuadas ( $u(x),v(x)$ son funciones diferenciables, $f(t,x)$ es una función continua y $\partial f/\partial x$ existe y es continua), tenemos

$$I^{\prime }(x)=\displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)}\dfrac{\partial f(t,x)}{\partial x}\; \mathrm{d}t+f(v(x),x)v^{\prime }(x)-f(u(x),x)u^{\prime }(x).$$

Answer 2

En resumen, es cierto si $f$ y la derivada parcial con respecto a $f$ son continuos en la región de diferenciación.