Valor esperado o variable aleatoria

Question

Tengo esta pregunta y no estoy muy seguro de dónde proceder.

Un punto parte del origen y en cualquier movimiento tiene la misma probabilidad de ir una unidad hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha, independientemente de los movimientos anteriores. Sea $X_1, X_2, X_3$ y $X_4$ sean variables aleatorias que den el número de movimientos hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda y hacia la derecha en una secuencia de $n$ se mueve.

Si $D$ es la distancia al origen después de $n$ se desplaza, demostrar que $\mathsf{E}(D^2)=n$ .

Sé que $ D^2=(X1 - X2)^2 + (X3- X4)^2$ y que cada uno de $X1, X2$ tendrá una probabilidad de $0.25$ pero no estoy seguro de cómo encontrar el valor esperado de esto.

Answer 1

Es fácil saber que $$ X_1 + X_2 + X_3 + X_4 = n $$ y por lo tanto $$ \mathsf{E}((X_1 + X_2 + X_3 + X_4)^2) = \sum_{i=1}^4 \mathsf{E}(X_i^2) + \sum_{i \neq j} \mathsf{E}(X_iX_j) = n^2 \tag{$\spadesuit$} $$ Dado que cada $X_i \sim \mathsf{Binomial}(n, 1/4)$ tenemos $\mathsf{E}(X_i^2)=\frac{3}{16}n + \frac{1}{16}n^2$ . Además, por simetría, tenemos $$ \mathsf{E}(X_1X_2) = \mathsf{E}(X_1X_3) =\cdots = \mathsf{E}(X_3X_4) $$ Por lo tanto, al $(\spadesuit)$ obtenemos $$ \mathsf{E}(X_1X_2) = \mathsf{E}(X_1X_3) =\cdots = \mathsf{E}(X_3X_4) = \frac{n^2 - \frac{3}{4}n - \frac{1}{4}n^2}{12} = \frac{1}{16}(n^2 - n) $$ Por último, tenemos $$ \mathsf{E}(D^2) = \sum_{i=1}^4\mathsf{E}(X_i^2) - 2\mathsf{E}(X_1X_2) - 2\mathsf{E}(X_3X_4) = \frac{3}{4}n + \frac{1}{4}n^2 - \frac{1}{4}(n^2 - n) = n $$

Answer 2

Una forma alternativa es expresar cada uno de $X_i$ como la suma de los v.r. de los indicadores: sea $U_i, D_i, L_i, R_i$ igual a $1$ si en el $i$ La partícula escalonada se mueve hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda y hacia la derecha, respectivamente. Para todos los $i$ $$U_i+ D_i+ L_i+ R_i = 1, \ U_iD_i=0, \ L_iR_i=0$$ $$X_1=\sum_{i=1}^n U_i, \ X_2=\sum_{i=1}^n D_i, \ X_3=\sum_{i=1}^n L_i, \ X_4=\sum_{i=1}^n R_i.$$ Calcule el valor esperado de $D^2$ : $$\mathbb ED^2=\mathbb E\left(\sum_{i=1}^n (U_i-D_i)\right)^2+\mathbb E\left(\sum_{i=1}^n (L_i-R_i)\right)^2=2\mathbb E\left(\sum_{i=1}^n (U_i-D_i)\right)^2.$$ Utilice $\mathbb EX^2=\text{Var} X + (\mathbb EX)^2$ : $$\mathbb ED^2=2 \text{Var}\left(\sum_{i=1}^n (U_i-D_i)\right)+2\left(\mathbb E\sum_{i=1}^n (L_i-R_i)\right)^2=$$ $$\mathbb ED^2=2\left(\sum_{i=1}^n \text{Var}(U_i-D_i)\right)+2\biggl(\sum_{i=1}^n \underbrace{\mathbb E(L_i-R_i)}_{0}\biggr)^2=2n \text{Var}(U_1-D_1)=2n \mathbb E(U_1^2+D_1^2-2\underbrace{U_1D_1}_0)=4n \mathbb EU_1^2=4n \mathbb EU_1=4n\cdot 0.25=n.$$