Aquí es un ejemplo de no-surjectivity. Deje $X = \mathbb{A}^2 \setminus 0$. Yo reclamo que $Pic(X)$$0$, pero $Pic(X^{an}) \neq 0$.
La prueba de que $Pic(X)= 0$: Hay un afín cubierta $X = U_1 \cup U_2$ donde$U_1 = \{ (x, y) : x \neq 0 \}$$U_2 = \{ (x,y) : y \neq 0 \}$. Tenga en cuenta que $U_1$, $U_2$ y $U_{12}$ están todas las Especificaciones de PID, por lo que su Picard grupos son triviales y podemos calcular $Pic(X)$ en términos de esta apertura de la tapa. La unidad correspondiente grupos $\{ \alpha x^i : \alpha \in \mathbb{C}^*, \ i \in \mathbb{Z} \}$, $\{ \alpha y^j : \alpha \in \mathbb{C}^*, \ j \in \mathbb{Z} \}$ y $\{\alpha x^i y^j : \alpha \in \mathbb{C}^*, \ (i,j) \in \mathbb{Z}^2 \}$. Por lo que el complejo es Cech
$$\left( \mathbb{C}^* \oplus \mathbb{Z}\right) \oplus \left( \mathbb{C}^* \oplus \mathbb{Z}\right) \to \mathbb{C}^* \oplus \mathbb{Z}^2,$$
que claramente no tiene cokernel.
La prueba de que $Pic(X^{an}) \neq 0$: podríamos imitar el anterior, pero es un poco más simple para la primera utilización de la exponencial de la secuencia de $0 \to \mathbb{Z} \to \mathcal{O} \to \mathcal{O}^* \to 0$. Desde $X \cong \mathbb{R}^4 \setminus \{ (0,0) \}$ retrae en $S^3$,$H^1(X, \mathbb{Z}) \cong H^2(X, \mathbb{Z}) \cong 0$$H^1(X, \mathcal{O}) \cong H^1(X, \mathcal{O}^*)$. Computación $H^1(X, \mathcal{O})$ de la Cech cubierta de arriba, obtenemos que es atravesado por el conjunto de todas las sumas $\{ \sum a_{ij} x^{-i} y^{-j} \}$ donde la suma es convergente en todas partes en $U_{12}$.
Para el ejemplo más simple de un trivial de clase en $H^1(X, \mathcal{O})$ es la Cech cocycle $U_{12} \mapsto x^{-1} y^{-1}$, y la más simple no trivial de la línea de paquete es tomar trivial de la línea de paquetes en $U_1$ $U_2$ y unirlos por $e^{x^{-1} y^{-1}}$.
