Continuidad uniforme de $f(x)=x^3$

Question

1.)Determinar si $f(x)=x^3$ es uniformemente continua en [0,2)

Hasta ahora, he $\delta$ = 2 y $\epsilon$ = 8, y planea utilizar el teorema del sándwich con $x^2$ y eventualmente equiparar $\delta = \epsilon$ .

Answer 1

Para un determinado $\epsilon >0$ , elija $\delta=\epsilon/12$ , entonces para $x,y\in [0,2),$ tal que

$|x-y|<\delta\implies |f(x)-f(y)|=|x^3-y^3|$

$=|x-y||x^2+xy+y^2|<|x-y|(|x|^2+|x||y|+|y|^2)<12|x-y|=12\delta=\epsilon$

Así, para $\epsilon>0$ , $\exists \delta >0$ (independientemente del punto en el que se compruebe la continuidad), tal que $|x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon$ .

Por lo tanto, se ha demostrado.

Answer 2

Para una forma rápida, recuerde que cualquier función continua es uniformemente continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ . Si $f(x)$ es uniformemente continua en $[a,b]$ entonces debe ser uniformemente continua en $[a,b)$ (con el mismo $\delta$ por cada $\epsilon$ ).

Answer 3

A problema relacionado .

Una pista: Otro enfoque es el teorema del valor medio. Se trata de un problema relacionado .

Añadido:

Teorema del valor medio: Si una función $f$ es continua en el intervalo cerrado [a, b], donde a < b, y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un punto c en (a, b) tal que $$ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}. $$

En su caso, empezamos como

$$ \frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f'(\eta),\,\,\eta\in(x,y) \implies \frac{x^3-y^3}{x-y}=3\eta^2 $$

$$ \implies |{x^3-y^3}|=|3\eta^2||x-y|\leq 12|x-y| < \epsilon $$

$$\implies |x-y| < \frac{\epsilon}{12}=\delta. $$

Ahora, la elección de $ \delta=\frac{\epsilon}{12} $ tenemos

$$ |x-y|< \delta \implies |x^3-y^3|<\epsilon. $$