Integrar sobre una curva (compleja)

Question

Dado

$${\Gamma} = [{z(t) = t\sqrt{\frac2\pi\}}e^{it^2}}]$$ para $$0< t < \sqrt{\pi/2}$$

evaluar

$$\int_{\Gamma} ze^{z^2}dz$$

El proceso habitual consiste en parametrizar y luego sustituir z(t) por f(z), que en este caso es la materia bajo la integral, y luego multiplicar por z'(t). En general es un proceso bastante sencillo. Aquí, sin embargo, termino con una integral ridículamente desordenada con la que no tengo ni idea de qué hacer. Seguro que hay algo que se me escapa o alguna forma de simplificar ${\Gamma}$ . ¿Qué hacer?

Answer 1

Tenga en cuenta que puede evaluar simplemente la integral en los puntos finales de $\Gamma$ porque

$$\int dz \, z \, e^{z^2} = \frac12 e^{z^2} + C$$

Los puntos finales están en $z=0$ y $z=e^{i \pi/2} = i$ .