Valor propio y subespacio propio.

Question

Tengo el siguiente problema:

Supongamos que $A,B\in{\cal M}_n(\mathbb{R})$ tal que $AB = BA.$ Demuestre que si $v$ es un vector propio de $A$ asociado al valor propio $\lambda$ con $Bv\neq 0$ y dim $(S_\lambda)=1$ entonces $v$ es también un vector propio de B.

Gracias de antemano.

Answer 1

Una pista: Si $\lambda \neq 0$ entonces $Bv = B\left( \frac 1\lambda Av\right)$ .

O, piénsalo así: $(A - \lambda I)Bv = B(A - \lambda I) v = 0$

Answer 2

$ABv = BAv = B\lambda v$ = $\lambda Bv$

Así que $Bv$ es un vector propio de $A$ con valor propio $\lambda$

Desde $dim(S_\lambda) = 1$ tenemos que $v \tilde{} Bv$ . En otras palabras: $v$ es un vector propio de $B$ .