El campo finito satisface $1+\lambda^{2}-\alpha\mu^{2}=0$

Question

Lema. Si $F$ es un campo finito, $\alpha\neq0\in F$ entonces existe $\lambda,\,\mu\in F$ para que $1+\lambda^{2}-\alpha\mu^{2}=0$ .

Prueba. Si la característica de $F$ es $2$ , $F$ tiene $2^n$ elementos y cada elemento $x$ en $F$ satisface $x^{2^n}=x$ . Este cada elemento en $F$ es un cuadrado. En particular $\alpha^{-1}=\mu^{2}$ . Utilizando este $\mu$ y $\lambda=0$ obtenemos $1+\lambda^{2}-\alpha\mu^{2}=1+0-1=0$ .

Mis problemas comienzan cuando la característica es una prima impar $p$ , $F$ tiene $p^n$ elementos. ¿Podría ayudarme a continuar esta prueba, por favor?

¿Podría comprobar también la primera parte de estas pruebas?

Gracias.

Answer 1

Considere el conjunto $S_1=\{1+\lambda^2 : \lambda\in F\}$ y $S_2=\{a\mu^2 : \mu\in F \}$ . ¿Cuántos elementos hay en $S_1$ ? Bueno, si $1+\lambda_1^2=1+\lambda_2^2$ entonces $\lambda_1=\pm \lambda_2$ . Así que si $\lambda_1\neq 0$ entonces $\lambda_1$ y $-\lambda_1$ aportan un elemento a $S_1$ . Contando $0$ por separado, obtenemos que $$|S_1|=1+\frac{p^n-1}{2}=\frac{p^n+1}{2}$$ Utilizando el mismo método, también se obtiene que $$|S_2|=\frac{p^n+1}{2}$$ Pero ahora, $$|S_1|+|S_2|=\frac{p^n+1}{2}+\frac{p^n+1}{2}=p^n+1>p^n=|F|$$ Por lo tanto, existe algún $x\in S_1\cap S_2$ . Pero entonces $x=1+\lambda^2$ para algunos $\lambda\in F$ y $x=a\mu^2$ para algunos $\mu\in F$ . Ahora se ve que $1+\lambda^2-a\mu^2=0$ , según se desee.

Y sí, tu prueba de la característica 2 es correcta.