Al demostrar que dos functores $F:A\rightarrow B$ y $G:B\rightarrow A$ son adyacentes, se define una biyección natural $\mathrm{Mor}(X,G(Y)) \rightarrow \mathrm{Mor}(F(X),Y)$ . ¿Y si no se exigiera que la biyección fuera natural, qué problemas surgirían?
Adjunción de $F,G$ es un puente entre $\mathcal A$ y $\mathcal B$ en la mayoría de los ejemplos denominados heteromorfismos son definibles a partir de objetos de $\mathcal A$ a la de $\mathcal B$ y éstos tienen que corresponder (¡naturalmente!) a elementos de ambos homsets $\mathrm{Mor}(FX,Y)$ y $\mathrm{Mor}(X,GY)$ . Entonces $F$ puede obtenerse mediante reflexiones y $G$ por "coreflections" en esta categoría mayor que contiene disjuntamente $\mathcal A$ y $\mathcal B$ y los heteromorfismos definidos por la adjunción. La naturalidad es crucial.
Muy interesante ¿Podría elaborar o dar un enlace donde la noción de la categoría disjointly enveloping $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ se construye. ¿Es como un grafo bipartito?
Dada una transformación natural $$\varphi_{} \colon \mathbf A(-,G(-)) \to \mathbf B(F(-),-) $$ esto es lo mismo que una transformación natural familiar entre los functores $$\varphi_Y \colon \mathbf A(-,G(Y)) \to \mathbf B(F(-),Y)$$ natural en $Y$ .
Por cada $Y \in \mathbf B$ por el lema de Yoneda tenemos que, si $\epsilon_Y=\varphi_Y(1_{G(Y)})$ entonces $$\varphi_Y(f)=\mathbf B(F(f),Y)(\epsilon_Y)=\epsilon_Y \circ F(f)$$ para cada $f \in \mathbf A(X,G(Y))$ .
El requisito de que $\varphi$ es un isomorfismo implica que $\varphi_Y$ son todos isomorfismos y por tanto $\epsilon_Y$ deben ser universales (y por eso son importantes los adjuntos, porque hacen surgir objetos universales).
Si eliminas la condición de naturalidad no puedes usar yoneda y por tanto no puedes obtener el morfismo universal.
Por eso necesitamos naturalidad . :)
Espero que esto ayude.
El tratamiento heteromórfico de los colindantes mencionado en la respuesta 1 sin referencias puede estudiarse más a fondo en Ellerman, David 2006. A Theory of Adjoint Functors-with some Thoughts on their Philosophical Significance. En What is Category Theory? Giandomenico Sica ed., Milán: Polimetrica: 127-183, que puede descargarse en: http://www.ellerman.org/a-theory-of-adjoint-functors/ o para una versión más corta: http://www.ellerman.org/adjoint-functors-and-heteromorphisms/ .
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Surgirían problemas horribles, horribles. Es muy fácil encontrar biyecciones no naturales, así que no sé muy bien a qué te refieres.
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Esto es más o menos preguntar qué pasa si no requerimos de un mapa entre dos grupos para preservar las operaciones de grupo. La respuesta es: acabaríamos con un concepto bastante inútil.
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En términos más generales, uno podría preguntarse: ¿Por qué se requiere realmente que un isomorfismo natural entre dos functores sea natural?