¿Es redundante la definición de linealidad?

Question

Para unas dos funciones f(x) y g(y) y para la transformación T, T es lineal si:

   1. T(f(x) + g(y)) = T(f(x)) + T(g(y)) 

   2. T(cf(x)) = cT(f(x)) for c in reals. 

Esta definición parece redundante porque la primera propiedad da:

T(cf(x)) = T(f(x) + f(x) ... [c times] + f(x)) = 
           T(f(x)) + T(f(x)) + ... [c times] + T(f(x)) 
                                                        = cT(f(x))

Entonces, ¿por qué es necesaria la segunda propiedad para definir la linealidad?

Answer 1

No es redundante. Su argumento de la primera propiedad sólo se aplica a los coeficientes enteros.

Aviso: $ 3 f(x) = f(x) + f(x) +f(x)$ pero no existe la expresión correspondiente para $\pi f(x)$ .

El concepto erróneo está relacionado con pensar en la multiplicación como una suma repetida. Esto no es cierto cuando se multiplica por números no enteros. Véase Si la multiplicación no es una suma repetida para saber más sobre este concepto.