¿Por qué el conjunto de trayectorias continuas de un movimiento browiano no es medible?

Question

Øksendal afirma en su libro "ecuaciones diferenciales estocásticas" ( Definición 2.2.1 iii), p.13 ) que

el conjunto $H = \{\ \omega \mid t B_t (\omega)\ \text{is continuous}\ \}$ no es medible con respecto al Borel $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{B}$ en $(\mathbb{R}^n)^{[0,\infty)}$ (...) ( $H$ implica un número incontable de $t$ 's),

donde $B_t$ es un movimiento browniano e identificamos $\omega$ con la ruta de $B_t(\omega)$ .

Por desgracia, no sé mucho sobre $\mathcal{B}((\mathbb{R}^n)^{[0,\infty)})$ aparte de su definición. Según esto pregunta un conjunto $A$ es medible si existe $J\subseteq \mathbb{R}$ con $|J|\aleph_0$ y $B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^J)$ tal que $A=B \times \mathbb{R}^{\mathbb{R}\setminus J}=\{f \in \mathbb{R}^\mathbb{R} \colon \ (f(j) \colon \ t \in J) \in B\}$ .

Agradecería que alguien me proporcionara una referencia de la afirmación anterior.

Editar: Si no me equivoco el producto $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{B}((\mathbb{R}^n))^{[0,\infty)}$ es un verdadero subconjunto del Borel- $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{B}((\mathbb{R}^n)^{[0,\infty)})$ y, por tanto, la afirmación anterior debería ser correcta para el producto, pero no para el álgebra de Borel. Antes de la cita, Øksendal escribe ( tras la definición 2.1.4, p. 10 ):

$\mathcal{B}$ [el álgebra generada por conjuntos cilíndricos] es la misma que la de Borel $\sigma$ -álgebra en $\tilde{\Omega}$ [ $=(\mathbb{R}^n)^T$ ] si $T = [0,\infty)$ y $\tilde{\Omega}$ se da la topología del producto

Esto debería ser falso o me estoy perdiendo algo?

Answer 1

(Voy a suponer que $\Omega=\Bbb R^{[0,\infty)}$ .) Como señala Øksendal, si $H$ fueran medibles entonces habría un conjunto contable $(t_n)\subset[0,\infty)$ y un conjunto de Borel $B\in\mathcal B({\Bbb R}^{\Bbb N})$ tal que $H=\{\omega\in\Omega: (\omega(t_1),\omega(t_2),\ldots)\in B\}$ . En concreto, esto significaría que si $\omega$ y $\omega^*$ eran dos elementos de $\Omega$ con $\omega(t_n)=\omega^*(t_n)$ para todos $n\in\Bbb N$ y si $\omega\in H$ entonces también $\omega^*\in H$ . Pero claramente si tomamos cualquier elemento $\omega\in H$ (es decir, una trayectoria continua) y definir $\omega^*(t):=\omega(t)$ para todos $t$ excepto un punto $t^*\in [0,\infty)\setminus\{t_1,t_2,\ldots\}$ y establecer $\omega^*(t^*)=\omega(t^*)+17$ entonces $\omega^*$ pasa la prueba (que implica $(t_n)$ y $B$ ) para su inclusión en $H$ pero $\omega^*$ no es continua.