Demostrar que si { $A\overrightarrow{v}_{1},...,A\overrightarrow{v}_{k}$ } es linealmente independiente, entonces B es linealmente independiente.

Question

Supongamos que A es un $n \times n$ y B = { $\overrightarrow{v}_{1},...,\overrightarrow{v}_{k}$ } $\subset R^n$ . Demostrar que si { $A\overrightarrow{v}_{1},...,A\overrightarrow{v}_{k}$ } es linealmente independiente, entonces B es linealmente independiente.

Así que sé cómo demostrarlo de la otra manera, tal que si B es linealmente independiente entonces { $A\overrightarrow{v}_{1},...,A\overrightarrow{v}_{k}$ } es linealmente independiente pero no estoy seguro de cómo demostrarlo de la manera requerida.

Se agradece cualquier ayuda, ¡gracias!

Answer 1

HINT : Como siempre, empieza con la frase obligatoria. Quiere demostrar $B$ es linealmente independiente, por lo que se escribe

Supongamos que $c_1\vec v_1+\dots+c_k\vec v_k = \vec 0$ . Debemos mostrar $c_1=\dots=c_k=0$ .

¿Qué es lo más obvio que hay que hacer con la ecuación que has escrito?

Y, para insistir en lo que se ha dicho en otros comentarios, lo contrario es falso . Necesita una hipótesis adicional sobre $A$ para que funcione. ¿Qué hipótesis es esa?

Answer 2

Dejemos que $\alpha = \{Av_1, \dots, Av_k\}$ y $U = \text{span}\{B\}$ . Observe que $A(U) = \text{span}\{\alpha\}$ .

Considere la restricción de $A$ dado por $\widetilde{A}:U\longrightarrow A(U)$ . Si $\alpha$ es linealmente independiente, entonces $\dim\big( A(U) \big)= k$ . Desde $\dim (U)\leqslant |B| = k$ se deduce del teorema de la nulidad del rango que $\dim(U) = k$ $($ y que $\dim(\ker \widetilde{A}) = 0)$ .

En otras palabras, tenemos $\dim(\text{span}\{B\}) = |B|$ Así que $B$ deben ser linealmente independientes.