¿Cómo entender el siguiente resultado?

Question

Estoy empezando a estudiar la probabilidad y he encontrado el siguiente problema:

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número dos veces después de dos lanzamientos?

La respuesta fue que como tenemos seis resultados distintos en un dado justo cada resultado posible tiene $1/6$ de probabilidad de suceder y ya que el resultado es:

$$ P(\text{rolling the same number twice in a row on a fair die} ) = (1/6)(1/6).$$

Entiendo hasta la parte de las probabilidades, sé que como cada evento es independiente del otro estamos aplicando la regla de la multiplicación, Sin embargo me gustaría profundizar más en el análisis y no tomar esto como una regla estricta, me gustaría entender por qué tuvimos que multiplicar los números, es decir por qué no sumarlos o dividirlos , necesito entender por qué funciona la regla de la multiplicación, me gustaría recibir una explicación empírica o formal de este resultado para entender más, gracias por el apoyo.

Me gustaría plantear que mi pregunta es diferente ya que sé que si tengo el escenario de un solo dado, lanzado en dos tiempos diferentes mi resultado es correcto pero no entiendo por qué tenemos que multiplicar las probabilidades sé que estamos usando la regla de la multiplicación pero por qué funciona cuál es la razón de multiplicar los números me refiero a por qué no dividirlo o sumarlo, me gustaría profundizar más en el análisis.

Answer 1

La probabilidad de sacar un $1$ es $1/6$ porque hay un único resultado favorable y seis posibles.

La probabilidad de sacar dos $1$ s en una fila es $1/36=1/6^2=(1/6)^2$ porque ahora hay treinta y seis resultados posibles. El producto parece por razones combinatorias . En concreto, el conjunto de casos posibles es el Producto cartesiano de los posibles resultados en el primer sorteo y los del segundo.

Así que al igual que $6^2=36$ las probabilidades se multiplican, $1/6^2=(1/6)^2$ . Durante tres $1$ s en una fila, la probabilidad sería $1/6^3=(1/6)^3$ .

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Ahora supongamos que se lanza un dado y una moneda. Los resultados son de los conjuntos $\{1,2,3,4,5,6\}$ y $\{H,T\}$ . Por el producto cartesiano, hay $6\cdot2$ combinaciones y la probabilidad de sacar un uno y una cabeza es $1/(6\cdot2)=(1/6)(1/2)$ .

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En el ejemplo del dado, las probabilidades no se multiplican sin más, porque hay varios casos favorables ( $6$ formas de dibujar el mismo valor).

Las probabilidades de $1,2$ y $3$ dibujos idénticos serían

$$\frac66=1,\\\frac6{6^2}=\frac16,\\\frac6{6^3}=\frac1{36}.$$

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Más "difícil": lanzamos el dado dos veces y la moneda tres veces y buscamos números y caras iguales.

En cuanto a las matrices, hay $6^2$ los posibles resultados, y $2^3$ para la moneda. Entre ellas, $6$ combinaciones son favorables para el troquel y $2$ para la moneda, formando un total de $6\cdot2$ configuraciones distintas (de nuevo por el producto cartesiano).

Por lo tanto, la probabilidad

$$\frac{6\cdot2}{6^2\cdot2^3}=\left(\frac6{6^2}\right)\left(\frac2{2^3}\right).$$

$$\begin{matrix} && HHH & THH & HTH & TTH & HHT & THT & HTT & TTT \\ & 11 &\times & & & & & & &\times \\ & 12 & & & & & & & & \\ & 13 & & & & & & & & \\ & 14 & & & & & & & & \\ & 15 & & & & & & & & \\ & 16 & & & & & & & & \\ & 21 & & & & & & & & \\ & 22 &\times & & & & & & &\times \\ & 23 & & & & & & & & \\ & 24 & & & & & & & & \\ & 25 & & & & & & & & \\ & 26 & & & & & & & & \\ & 31 & & & & & & & & \\ & 32 & & & & & & & & \\ & 33 &\times & & & & & & &\times \\ & 34 & & & & & & & & \\ & 35 & & & & & & & & \\ & 36 & & & & & & & & \\ & 41 & & & & & & & & \\ & 42 & & & & & & & & \\ & 43 & & & & & & & & \\ & 44 &\times & & & & & & &\times \\ & 45 & & & & & & & & \\ & 46 & & & & & & & & \\ & 51 & & & & & & & & \\ & 52 & & & & & & & & \\ & 53 & & & & & & & & \\ & 54 & & & & & & & & \\ & 55 &\times & & & & & & &\times \\ & 56 & & & & & & & & \\ & 61 & & & & & & & & \\ & 62 & & & & & & & & \\ & 63 & & & & & & & & \\ & 64 & & & & & & & & \\ & 65 & & & & & & & & \\ & 66 &\times & & & & & & &\times \\ \end{matrix}$$