Construir un ejemplo relacionado con el teorema de cobertura de Vitali

Question

Un ejercicio de la teoría de la medida de Fremlin vol 2 pide construir una familia $\mathcal I$ de intervalos abiertos en la recta real tales que cada punto de $\mathbb{R}$ pertenece a intervalos arbitrariamente pequeños de $\mathcal I$ (para que podamos aplicar el teorema de cobertura de Vitali a cualquier subconjunto de $\mathbb{R}$ ), pero si $(I_n)$ es cualquier familia contable de miembros disjuntos de $\mathcal I$ y para cada $n$ escribimos $I_n'$ para el intervalo cerrado con el mismo centro que $I_n$ y diez veces la longitud, entonces hay un $n$ tal que $$ ]0,1[ \not \subset \bigcup_{m < n} I_n \cup \bigcup_{m \geq n} I_n' $$

Obsérvese que si tomamos los intervalos en $\mathcal I$ para ser cerrado, es imposible construir un ejemplo de este tipo.

Y aquí, la diferencia entre el lado izquierdo y el derecho será un subconjunto insignificante.

Por supuesto, $]0,1[ \setminus \bigcup_{m \geq 1} I_n$ es no vacía. Lo que debemos arreglar, creo, es que este subconjunto cerrado no vacío de $]0,1[$ no debe ser un conjunto de tipo Cantor. Pero no sé cómo asegurar que esto sea así.

¿Alguna pista?

Answer 1

Sustitución del WLOG $(0, 1)$ por $(-1, 1)$ . Ahora prueba la familia $\mathcal{I}$ que contiene esos intervalos $(a, b)$ que satisfagan una de las siguientes condiciones:

(1) $b < 0$ ,

(2) $(a, b) = (-10^{-n}, 10^{-n})$ para algunos $n \geq 1$ ,

(3) $a \geq 1$ ,

(4) $0 < a < 1$ y si $n \geq 1$ es el mayor número entero tal que $10^{-n} \leq a$ , dejando entonces que $J$ sea el intervalo con el mismo centro que $(a, b)$ y un radio diez veces mayor que el de $(a, b)$ tenemos $10^{-n} \notin J$ .