Dejemos que $B$ un anillo conmutativo y $I$ un ideal, digamos $B$ y $B/I$ se reducen.
Supongamos que tengo un morfismo de anillos $\phi: B \to B/I$ tal que $\phi^{-1}((0)) = I$ . ¿Se deduce entonces que $\phi$ debe ser el mapa cociente $b \to b + I$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No, esto no es así. Considere, por ejemplo, $B = \mathbb Z$ y $I = 3 \mathbb Z$ . Dejemos que $\phi(n) = -n + 3 \mathbb Z$ . Entonces $\phi$ no es el mapa cociente, pero su núcleo es $3 \mathbb Z$ .
De forma más general, aplicando cualquier automorfismo de $B$ que preserva $I$ y componiendo con el mapa cociente se obtiene otro mapa cuyo núcleo también es $I$ .
