La función continua y la apertura de los puntos

Question

Supongamos que tengo una función continua $f: X \rightarrow Y$ tal que $f(a) = f(b) $ donde $a$ y $b$ son puntos de $X$ . ¿Es el caso que tenemos que ambos $a$ y $b$ están abiertos o ninguno $a$ ni $b$ ¿están abiertos?

Gracias

Answer 1

Obsérvese que una función constante $f: X \rightarrow Y$ es continua. Y para dos puntos cualesquiera $x,y \in X$ que $f(x)=f(y)$ . Esto es válido para cualquier topología en $X$ por lo que tenemos que $\{x\}$ puede ser abierto, cerrado o ninguno de los dos y de forma similar para $\{y\}$ sin dependencia entre ambos.