Derivado de la cot(x)

Question

Si nos reescribir $\displaystyle \frac {d} {dx} \cot(x)$ $\displaystyle \frac {d} {dx} \frac {1} {\tan(x)}$ y, a continuación, aplicar el cociente de la regla, llegamos a $\displaystyle \frac {\tan(x)\frac{d}{dx}1-1\frac{d}{dx}\tan(x)} {\tan^2(x)}$ y, a continuación, $\displaystyle \frac {-\sec^2(x)} {\tan^2(x)} = -\frac {1} {\cos^2(x)} \cdot \frac{\cos^2(x)} {\sin^2(x)} = -\csc^2(x)$

Mi pregunta es que esta prueba sea válida para $\displaystyle \frac {\pi} {2}$? La derivada de $\tan(x)$ $\sec^2(x)$ sólo para los ángulos para que $\tan(x)$ está definido. $\tan(x)$ no está definido para $\frac {\pi} {2}$, por lo que en el anterior cociente regla, cuando se afirma que $\frac {d} {dx} \tan(x) = \ seg^2(x)$, that comes with the caveat that $x \neq \frac {\pi} {2}$ (as well as $\frac {3\pi} {2}$ y sus co-terminales).

Ahora $\frac {\pi} {2}$ está en el dominio de $\cot(x)$, pero no creo que la prueba en el párrafo de apertura tiene por $\frac {\pi} {2}$

Si me voy por el primer principio, es decir, $$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac {cot(x+h)-cot(h)} {h}$$, then I get a proof which works for all angles in the domain of $\cot(x)$ including $\frac {\pi} {2}$

Del mismo modo, si puedo aplicar el cociente de la regla en $\displaystyle \frac {d} {dx} \cot(x) = \frac {d} {dx} \frac {\cos(x)} {\sin(x)}$, no tengo problemas con $\frac {\pi} {2}$

Por lo tanto, estoy solo por curiosidad, si la prueba descritos en el primer párrafo es aplicable para $\frac {\pi} {2}$. Yo no estoy tan convencido, pero siempre que he visto que el enfoque en el internet, no he visto a nadie hacer una nota o advertencia de que este enfoque puede tener algunos problemas.

Gracias.

Answer 1

Si utiliza una definición de $\cot$ que no está definida para $\frac \pi 2$ como $\cot x=\frac 1 {\tan x}$, entonces la prueba de que no se demostrar que la derivada de $x=\frac \pi 2$. Mientras tanto, si usted no hace que la suposición y el uso de las propiedades generales de $\cot$, al igual que el $\cot$ identidad o $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$, entonces usted tendrá un cuerpo más robusto a prueba.

La gente probable que el uso de $\cot x=\frac 1 {\tan x}$ porque es fácil y conduce a la respuesta correcta, incluso si no prueba la derivada de $x=\frac \pi 2$.

Answer 2

No, No es obtener la derivada en $\pi/2$; sin embargo, la cotangente de la función es continua en $\pi/2$ y $$ \lim_{x\to\pi/2}\cuna'(x)= \lim_{x\to\pi/2}-\frac{1}{\sin^2(x)}=-1 $$ así que se puede decir que $$ \cuna'(\pi/2)=-1=-\frac{1}{\sin^2(\pi/2)} $$ Es una aplicación estándar de l'Hôpital del teorema: la continuidad de la función en el punto asegura que las hipótesis del teorema de espera.

Más en general, suponga que tiene una función de $f$ que es continua en a $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ y diferenciable en a $(x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta)$; si $f'$ tiene una singularidad removible en$x_0$, $f$ también es diferenciable en a $x_0$ y $$ f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}f'(x) $$

Un ejemplo clásico es $$ f(x)=\begin{cases} x^3\sin\frac{1}{x} & \text{if %#%#%}\\ 0 & \text{if %#%#%} \end{casos} $$ Ya que, por $x\ne0$, $$ f'(x)=3x^2\sin\frac{1}{x}-x\cos\frac{1}{x} $$ y $$ \lim_{x\to0}f(x)=0,\qquad \lim_{x\to0}f'(x)=0, $$ podemos decir que el $x=0$ también es diferenciable en a $x\ne0$ $f$ (que también puede ser verificado por la definición).

Tenga en cuenta que el recíproco no es cierto; la función puede ser diferenciable en a $0$ sin la derivada tener una singularidad removible. Solo cambie $f'(0)=0$ a $x_0$ en el ejemplo anterior, para obtener un ejemplo de esto.

Answer 3

Este es un problema de límites. No importa cómo una función se construye. Tampoco importa si esta función puede ser definida de varias maneras. Si usted puede probar que una función $f(z)$ en un punto dado, $z_0$ en el plano complejo es una singularidad removible, entonces la derivada de la función en ese punto puede ser salvado, y por lo tanto, puede ser definido. Revise este enlace.

Para probar (y guardar) una singularidad removible, puede utilizar el límite: $$ \lim\limits_{r\to 0} f(z_0 - re^{i\phi}) = \ell_{z_0}(\phi) $$ Este límite puede ser intuitivamente interpretarse como un límite orientado. Si el límite orientado adquiere un valor fijo para cualquier valor del ángulo de $\phi$, entonces la función debe ser continua en el punto de $z_0$ y por lo tanto esta es una singularidad removible: $$ \forall \phi\in\mathbb{R},\quad \ell_{z_0}(\phi) = L \quad\Rightarrow\quad z_0 \mbox{ es una singularidad removible de } f(z) \quad\, por tanto\quad f(z_0) = L $$

En su caso, tomando límite: $$ \lim\limits_{r\to 0} \cuna\left(\dfrac{\pi}{2} - re^{i\phi}\right) = 0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{\pi}{2} \mbox{ es una singularidad removible de } \cot(z) \quad\, por tanto\quad \cuna\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 $$ Entonces, la derivada de $\cot(z)$ sobre el punto de $\frac{\pi}{2}$ está definido. Ahora, tomando el límite: $$ \lim\limits_{r\to 0} \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - re^{i\phi}\right) = (\infty) e^{-i\phi}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{\pi}{2} \mbox{ no es una singularidad removible de } \tan(z) $$ Entonces, la derivada de $\tan(z)$ sobre el punto de $\frac{\pi}{2}$ no está definido. Es un polarizado singularidad.

Answer 4

Tenga en cuenta que el límite de $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{\tan x}$ existe. Si se "calcula" la derivada de $\dfrac{x^3 - 8}{x-2}$$x = 2$, es igual a la derivada de la $x^2 + 2x + 4$. Sin embargo, tenga en cuenta que los derivados de ambas funciones son iguales que ellos no son igualmente continua. Esto es debido a las restricciones de sus funciones de padres. Sin embargo, si usted considerar la derivada como una función independiente en lugar de la derivada de otra función, entonces estas restricciones desaparecen.

Por la misma razón, si se "calcula" la derivada de $\dfrac{1}{\tan x}$ $x = \dfrac{\pi}{2}$ sería el mismo que el derivado de la $\cot x$ $x = \frac{\pi}{2}$ Esto es debido a que las funciones de $\dfrac{1}{\tan x}$ $\cot x$ son esencialmente los mismos, con excepción de sus discontinuidades. Y por lo que cuenta que el $\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \dfrac{d}{dx}\big(\dfrac{1}{\tan x}\big) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \dfrac{d}{dx} \big(\cot x\big) $ La única diferencia es que el $\dfrac{d}{dx} \big(\cot x\big)$ es continua en a $\frac{\pi}{2}$ mientras $\dfrac{d}{dx}\big(\dfrac{1}{\tan x}\big)$ no lo es.

En el mismo sentido, sería muy útil si usted tenga esto en cuenta: $$\cot (a) \neq \dfrac{1}{\tan(a)}$$ However $$\cot a = \lim_{x \rightarrow a}\dfrac{1}{\tan x}$$

Del mismo modo para $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ (tomé este rango limitado solo como ejemplo) $$\dfrac{d}{dx} cotx = \begin{cases} \dfrac{d}{dx} \dfrac{1}{tanx} & \text{if %#%#%}\\ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{tanx} & \text{if %#%#%} \end{casos} $$

Sin embargo, si usted tomó la derivada de una función en y de sí mismo sin sus lazos con su función principal,$x\neq \frac {\pi}{2}$, a continuación, la declaración sostiene independientemente.