Encuentra el área entre la curva y la asíntota

Question

Dada una curva $$r=\sec\left(\theta\right)+a\cos\left(\theta\right)$$

Cómo sin interpolar la curva somos capaces de determinar el área entre la curva y la asíntota para $a<-1$ .

La curva es $$\left(x-1\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=ax^{2}$$ Por lo tanto, $$y=\pm\sqrt{\frac{ax^{2}}{\left(x-1\right)}-x^{2}}$$

Y :

$$\lim_{x \to 1^+}\pm\sqrt{\frac{ax^{2}}{\left(x-1\right)}-x^{2}} \;\;\;\;\;\;\text{does not exist} $$

$$\lim_{x \to 1^-}\pm\sqrt{\frac{ax^{2}}{\left(x-1\right)}-x^{2}}= \pm\infty $$

Así que $x=1$ o de forma equivalente $r\cos(\theta)=1$ es una asíntota de la curva $r(\theta)$ .

La curva también es simétrica con respecto al $x$ -eje, por lo que sólo nos queda la gráfica de la función sobre el eje horizontal. El área sería de la forma

$$2\left(\frac{1}{2}\left|\int_{ }^{ }\left[r^{2}\cos^{2}\left(\theta\right)-\left(\sec\left(\theta\right)+a\cos\left(\theta\right)\right)^{2}\right]d\theta\right|\right)$$

Pero no sé cómo determinar los límites.

Answer 1

La curva se ve así:

El punto en $\theta=0$ es el extremo de la lágrima de la izquierda; va en sentido contrario a las agujas del reloj con el aumento de $\theta$ . Por lo tanto, nuestro límite superior para un de las integrales es $\theta=\pi/2$ y el límite inferior correspondiente es el punto para el que $r=0$ que puede calcularse fácilmente como $\theta^*=\cos^{-1}\frac1{\sqrt{-a}}$ . Escrita en su totalidad: $$\frac A2=\frac12\int_0^{\theta^*}\sec^2\theta\,d\theta+\frac12\int_{\theta^*}^{\pi/2}(\sec^2\theta-(\sec\theta+a\cos\theta)^2)\,d\theta$$ $$A=\int_0^{\theta^*}\sec^2\theta\,d\theta-\int_{\theta^*}^{\pi/2}(2a+a^2\cos^2\theta)\,d\theta$$ $$=\tan\theta^*-\frac a4((4+a)(\pi-2\theta^*)-a\sin2\theta^*)$$ $$=\sqrt{-a-1}-\frac a4\left(2(4+a)\sin^{-1}\frac1{\sqrt{-a}}+2\sqrt{-a-1}\right)$$ $$=\left(1-\frac a2\right)\sqrt{-a-1}-\frac{a(4+a)}2\sin^{-1}\frac1{\sqrt{-a}}\ge\frac{3\pi}4$$