Detalles en una prueba de la fórmula de coárea en $\mathbb{R}^n$ .

Question

Dejemos que $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ sea un conjunto abierto, y sea $u:\bar{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}$ sea una función de clase $C^1(\bar{\Omega})$ . Dado $\lambda\in\mathbb{R}$ , dejemos que $\Gamma_\lambda=\{x\in\Omega:\,u(x)=\lambda\}$ .

Fórmula del coárea: Supongamos que $|\nabla u|>0$ en $\bar{\Omega}$ y que $f\in L^1(\Omega)$ . Entonces $$\int_\Omega f\,dx=\int_\mathbb{R}\int_{\Gamma_\lambda} \frac{f}{|\nabla u|}\,d\sigma\,d\lambda.$$

Presento una prueba que creo que podría funcionar, y quiero preguntar sobre un paso (muy importante) dentro de la prueba. Sé que la fórmula de coárea se puede demostrar en un entorno más general, pero estoy interesado en resolver esta prueba en particular.

Para cada $p\in\Omega$ , hay $i\in\{1,\ldots,n\}$ con $|u_{x_i}(p)|>0$ . Por continuidad, existe $r_p>0$ tal que para todo $x\in B(p,r_p)\subseteq\Omega$ tenemos $|u_{x_i}(x)|>0$ . Como $\Omega$ es Lindelöf, $\Omega=\cup_{j=1}^{\infty} B_j$ , donde $B_j$ es una de esas bolas. Partición de la unidad: existe $\psi_j\in C_c^{\infty}(B_j)$ con $0\leq\psi_j\leq 1$ y $\sum_{j=1}^{\infty}\psi_j(x)=1$ para todos $x\in\Omega$ . Definir $f_j=f\,\psi_j$ en $\Omega$ . A partir de ahora, fija una de las bolas $B=B_j$ y para simplificar la notación supongamos que $|u_{x_n}|>0$ en $B$ . Por el teorema de la función implícita, $\Gamma_\lambda\cap B=\{x\in B:\,u(x)=\lambda\}=\{(x',\varphi(x',\lambda)):\,x'\in\tilde{B}\}$ , donde $\tilde{B}$ abrir en $\mathbb{R}^{n-1}$ y $\varphi(\cdot,\lambda)\in C^1(\tilde{B})$ .

Pregunta: ¿Puedo suponer que $\tilde{B}$ se elige independientemente de $\lambda$ ? ¿Tenemos $\varphi(x',\cdot)\in C^1$ ?

Por un lado, $$\int_\mathbb{R}\int_{\Gamma_\lambda}f_j\,d\sigma\,d\lambda=\int_\mathbb{R}\int_{\Gamma_\lambda\cap B}f_j\,d\sigma\,d\lambda=\int_\mathbb{R}\int_{\tilde{B}}f_j(x',\varphi(x',\lambda))\sqrt{1+|\nabla_{x'}\varphi(x',\lambda)|^2}\,dx'\,d\lambda.$$ Por otro lado, si la pregunta tiene una respuesta positiva,

\begin {Ecuación} \begin {split} \int_\Omega f_j,| \nabla u|,dx &= \int_B f_j,| \nabla u|,dx \\ & \stackrel { \substack { \text {cambio} \\\text {variable}}{=} \int_\mathbb {R} \int_ { \tilde {B}}f_j(x', \varphi (x', \lambda ))| \nabla u(x', \varphi (x', \lambda ))|\,| \varphi_\lambda (x', \lambda )||x'\N-\N-\N-\N-\N-\N-\N-\N-\N-\N-ES. \lambda. \end {split} \end {Ecuación}

Por último, utilice $u(x',\varphi(x',\lambda))=\lambda$ para todos $x'\in \tilde{B}$ y derivando con respecto a $x'$ y $\lambda$ (si la pregunta tiene una respuesta positiva), se llega a la igualdad entre las dos últimas grandes expresiones.

Si la respuesta a la pregunta fuera negativa, ¿hay alguna alternativa para que esta prueba funcione? No sé, algo así como cambiar las bolas por rectángulos...

Answer 1

No, no puede asumir $\tilde B$ para ser independiente de $\lambda$ . Considere el ejemplo $u(x)=x_n$ y $B=B^n(0,1)\subset\mathbb R^n$ . Ahora $\Gamma_\lambda=\{\lambda\}\times B^{n-1}(0,\sqrt{1-\lambda^2})$ . Su conjunto $\tilde B$ es ahora el balón $B^{n-1}(0,\sqrt{1-\lambda^2})$ y su radio se reduce a cero al acercarse al límite de $B$ (cuando $\lambda\to\pm1$ ).

He aquí un posible enfoque alternativo.

Tome cualquier punto $x\in\Omega$ . Desde $\nabla u(x)\neq0$ , hay $i\in\{1,\dots,n\}$ para que $u_i(x):=\partial u(x)/\partial x_i\neq0$ . Por continuidad hay una bola $B^n(x,\epsilon)$ para que $u_i\neq0$ en $B^n(x,\epsilon)$ y $\bar B^n(x,\epsilon)\subset\Omega$ .

Para simplificar la nota, supongamos que $i=n$ y $u_n(x)>0$ . Denote $x'=(x_1,\dots,x_{n-1})\in\mathbb R^{n-1}$ . Supongamos que $\delta<\epsilon$ ; fijaremos el valor más tarde. Consideremos el tubo $T=B^n(x,\epsilon)\cap (B^{n-1}(x',\delta)\times\mathbb R)$ . El tubo tiene dos "tapas": $C_\pm=\{x\in\partial B^n(x,\epsilon)\cap\partial T;\pm x_n>0\}$ .

Desde $u_n>0$ la función se supone que es mayor en $C_+$ que $C_-$ pero esto sólo es cierto si $\delta$ es lo suficientemente pequeño. Necesitamos una afirmación auxiliar: Para un tamaño suficientemente pequeño $\delta>0$ tenemos $\inf_{C_+}u>u(x)>\sup_{C_-}u$ . Prueba: En el límite $\delta\to0$ el infimo en $C_+$ va a $u(x+\epsilon e_n)$ y el supremum en $C_-$ a $u(x-\epsilon e_n)$ por continuidad, donde $e_n=(0,\dots,0,1)$ . Desde $u_n>0$ tenemos $u(x+\epsilon e_n)>u(x)>u(x-\epsilon e_n)$ .

Tome cualquier $\delta>0$ . Denote $a_+:=\inf_{C_+}u$ y $a_-:=\sup_{C_-}u$ . Sea $U=\{x\in T;a_-<u(x)<a_+\}$ . Este $U$ es ahora un "barrio conveniente de $x$ ". Las funciones dadas por el teorema de la función implícita son 1 todo definido sobre $\tilde B:=B^{n-1}(x',\delta)$ . La imagen mental es que $U$ está foliada por los conjuntos de niveles de $u$ y todos tienen la misma proyección $\tilde B$ .

En la definición de $U$ cortamos el tubo $T$ para que todos los conjuntos de niveles estén "llenos" (sus proyecciones son el conjunto $\tilde B$ ). Pero si $\delta$ es demasiado grande, este corte podría hacer $U$ vacío. Sería lamentable que $x\notin U$ .

Cada punto $x\in\Omega$ tiene un barrio como este, y el resto de la prueba funciona desde aquí.

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1 Elaboración: Como has escrito en tu pregunta, se deduce del teorema de la función implícita que los conjuntos de niveles de $u$ pueden escribirse como gráficos en el conjunto $B=B^n(x,\epsilon)$ . El problema era que las funciones (cuyas gráficas tenemos) estaban definidas sobre diferentes conjuntos en $\mathbb R^{n-1}$ . Para cualquier $x\in U$ , considere el conjunto de niveles $L=U\cap u^{-1}(u(x))$ . Queremos demostrar que la proyección de $U$ es $\tilde B$ . Ahora $a_-<u(x)<a_+$ . Tome cualquier $y'\in\tilde B$ y considerar la función $h(t)=u(y',t)$ . La función $h$ es estrictamente creciente. El punto $(y',t)$ está en $\bar T$ cuando $|y'-x'|^2+(t-x_n)^2\leq\epsilon^2$ o $t\in[x_n-\sqrt{\epsilon^2-|y'-x'|^2},x_n+\sqrt{\epsilon^2-|y'-x'|^2}]=:[b_-,b_+]$ . Por definición $h(b_+)\geq a_+>a_-\geq h(b_-)$ . Encogimiento $T$ a $U$ corresponde a la contracción $[b_-,b_+]$ a $[c_-,c_+]$ , donde $h(c_\pm)=a_\pm$ . Desde $h|_{[c_-,c_+]}$ es estrictamente creciente y continua, hay exactamente una $t\in(c_-,c_+)$ para que $h(t)=u(x)$ (recordemos que $a_-<u(x)<a_+$ ). Esto significa que el punto $(y',t)\in U$ proyectos hasta $y'$ y $u$ tiene el valor $u(x)$ en él.