Límite de $2^{(\log_2 n)^2}/2^{(\log_2 n)^3}$

Question

Estoy tratando de encontrar el siguiente límite

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2^{(\log_2 n)^2}} {2^{(\log_2 n)^3}}$$

La verdad es que no sé por dónde empezar y se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Una pista: $$\frac{2^{\log_2(n)^2}}{2^{\log_2(n)^3}}=2^{\log_2(n)^2-\log_2(n)^3}$$ ¿Qué es? $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\log_2(n)^2-\log_2(n)^3\right)$ ?

Answer 2

Sugerencia

¿Cuál es el límite del logaritmo de su expresión?

Answer 3

Vamos a aplicar dos de las leyes de los troncos. Utilizaremos

\begin {eqnarray*} \log_b (x^y) &=& y \log_b (x) \\ \\ \log_b\ ¡! \left ( \frac {x}{y} \right ) &=& \log_b (x)- \log_b (y) \end {eqnarray*}

Voy a tomar el registro de su expresión:

\begin {eqnarray*} \log_2\left ( \frac {2^{( \log_2 n)^2}}{2^{( \log_2 n)^3}} \right ) &=& \log_2\left (2^{( \log_2 n)^2} \right ) - \log_2\left (2^{( \log_2 n)^3} \right ) \\ \\ &=& ( \log_2 n)^2 \cdot\log_2 (2) - ( \log_2 n)^3 \cdot\log_2 (2) \\ \\ &=& ( \log_2 n)^2 - ( \log_2 n)^3 \\ \\ &=& ( \log_2 n)^2 \cdot (1- \log_2n ) \end {eqnarray*}

Espero que esté de acuerdo en que $\log_2n \to \infty$ como $n \to \infty$ . Esto significa que $$\lim_{n \to \infty}(\log_2 n)^2 \cdot (1-\log_2n) = -\infty$$

Retrocediendo unas líneas, nos dice entonces que $$\lim_{n \to \infty} \log_2\left(\frac{2^{(\log_2 n)^2}}{2^{(\log_2 n)^3}}\right) = -\infty$$

Mirando el gráfico $y = \log_2 x$ nos muestra que $\log_2 x \to -\infty$ como $x \to 0$ y por lo tanto $$\lim_{n \to \infty} \frac{2^{(\log_2 n)^2}}{2^{(\log_2 n)^3}} = 0$$

Answer 4

Míralo de esta manera:

$\log_2 n$ se hace grande para grandes $n$ . Por lo tanto, $(\log_2 n)^3$ es mayor que $(\log_2 n)^2$ .

Por lo tanto, $2^{(\log_2 n)^3}$ es mucho mayor que $2^{(\log_2 n)^2}$ .

Por lo tanto, $\frac{2^{(\log_2 n)^2}}{2^{(\log_2 n)^3}} \to 0 $ .

El resto son detalles.

Answer 5

Después de cancelar el numerador con el denominador lo que obtenemos es 1/2^(log n a la base 2) Después de eso utilizar el hecho de que X ^(log Y a la base X) no es más que igual al propio Y. Así que en tu caso sería simplemente 1/n Y ahora si n tiende a infinito y es seguramente 0...