Epimorphism y Monomorphism = Isomorfismo?

Question

Parece ser que si un mapa es una epimorphism y un monomorphism, no es necesariamente el caso de que es un isomorfismo.

Sin embargo, en la categoría de conjuntos, si un mapa es una epimorphism y un monomorphism es un isomorfismo.

Son estas declaraciones exactas?

Answer 1

Un simple ejemplo: tomar una categoría con dos objetos y tres morfismos, una de las cuales va de un objeto a otro. Este último morfismos es monic y épico, pero no una iso.

Answer 2

Sí, esas son declaraciones correctas.

La inclusión $\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{Q}$ es un monomorphism y epimorphism en la categoría de $\mathsf{Ring}$ (anillos y anillos de homomorphisms), pero no es un isomorfismo. La inclusión $\mathbb{Q}\hookrightarrow\mathbb{R}$ es un monomorphism y epimorphism en la categoría de $\mathsf{Haus}$ (Hausdorff espacios topológicos y continua de los mapas), pero no es un isomorfismo.

En la categoría de $\mathsf{Set}$, monomorphisms y epimorphisms son precisamente los inyectiva y surjective mapas, respectivamente, de manera que un mapa de conjuntos, que es tanto una monomorphism y epimorphism es un bijection, es decir, un isomorfismo de grupos.

Más información y ejemplos se pueden encontrar en la Wikipedia y en Mac Lane Categorías para el Trabajo Matemático.

Answer 3

Sí, eso es correcto. Por ejemplo, todos los morfismos en un poset es un monomorphism y un epimorphism, pero sólo la identidad morfismos son isomorphisms. (Mariano respuesta se describe el más pequeño poset con una no-identidad de morfismos.)

Sin embargo, hay varios rescata de esta declaración disponibles:

1. Una de morfismos que es a la vez un monomorphism y un split epimorphism (resp. tanto una epimorphism y un split monomorphism) es un isomorfismo. Ver esta entrada del blog. En la categoría de conjuntos, cada monomorphism (edit: con el no-vacío de dominio) se divide, y la declaración de que todos los epimorphism se divide es equivalente al axioma de elección.

2. Mejor: una de morfismos que es a la vez un monomorphism y una regular epimorphism (resp. tanto una epimorphism y regular monomorphism) es un isomorfismo. Ver esta entrada del blog. En la categoría de conjuntos, cada epimorphism y monomorphism es regular (sin necesidad de invocar el axioma de elección).

Para más información sobre el tema de morfismos que son epimorphisms y monomorphisms pero que no son isomorphisms ver esta entrada del blog.