Sabemos que la doble integración se utiliza para encontrar el área de una región plana y el volumen de un objeto sólido en el espacio. Mi pregunta es ¿por qué utilizamos la triple integración para encontrar de nuevo el volumen de un cuerpo? (Conozco la importancia de la triple integración, cualquier persona puede ayudarme)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una integral doble funciona para encontrar el volumen de una región 3D sólo cuando se puede establecer que los límites superior e inferior (en el $z$ coordenadas) pueden ser definidas por funciones que sólo dependen de $x$ y $y$ .
Dada una función $f(x,y)$ y una región $R$ en el $x,y$ plano, el volumen del sólido delimitado entre la superficie definida por $f$ el lugar, y $R$ es $$\iint_Rf(x,y)\,\mathrm dA$$ Para simplificar, acordemos utilizar una región rectangular para $R$ con $x\in(a,b)$ y $y\in(c,d)$ de modo que lo anterior puede escribirse $$\int_c^d\int_a^bf(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy$$ Denotemos este sólido por $S$ . Esta doble integral es equivalente a la triple integral $$\iiint_S\mathrm dV=\int_c^d\int_a^b \int_0^{f(x,y)} 1\,\mathrm dz\,\mathrm dx\,\mathrm dy$$ Pero esta equivalencia sólo es válida si la superficie delimitadora $f$ es una función explícita del plano real.
El ejemplo de mi comentario te reta a utilizar una integral doble para calcular el volumen de una esfera. Sin apoyarse en el argumento de simetría al que aludí, esto es difícil. Una esfera (radio $1$ centrada en el origen) está definida por la función implícita $x^2+y^2+z^2=1$ . No hay manera de escribir $z$ explícitamente como objeto de $x$ y $y$ . Puede utilizar $z=\pm\sqrt{1-x^2-y^2}$ como los límites de la integración con respecto a $z$ pero eso sólo funciona en este caso porque esta esfera en particular se puede cortar perfectamente por la mitad a lo largo de la $x,y$ plano No así para regiones más complicadas, o incluso una esfera que se traslada un poco en cualquier dirección vertical.
