$Y=X+Z$ y $X \perp Z$ y $Y$ , $X$ , $Z$ continua. Es $X \perp Z|Y$ ?

Question

Dejemos que $Y=X+Z$ . Supongamos que $Y$ , $X$ , $Z$ son continuamente distribuido. Sea $X \perp Z$ . Demostrar / refutar que $X \perp Z | Y$ .

He visto un montón de problemas de este tipo en math.SE (y casi todos refutan por contraejemplo) pero en todos los problemas que he visto los contraejemplos utilizan distribuciones discretas. Sospecho que todavía hay contraejemplos cuando las variables son continuas pero no he podido encontrar un contraejemplo y sólo quería asegurarme de que no hay nada especial en las distribuciones discretas.

He aquí un contraejemplo si las variables son discretas: Sea $X \in \{0,1\}$ y $Z \in \{0,1\}$ de forma independiente. Entonces, condicionado a $Y=2$ sabemos que $X=Z=1$ .

En el caso continuo trataba de convencerme de que la afirmación es falsa dejando $Z$ toman valores grandes y $X$ valores pequeños entonces si $Y$ adquiere valores grandes, entonces $Z$ también debe ser grande, pero luego no pudo dar el paso de que esto implicaría que $X$ y $Z$ son dependientes.

Nota rápida sobre la notación: $X \perp Z$ significa $X$ es independiente de $Z$ y $X \perp Z|Y$ significa $X$ es independiente de $Z$ con la condición de $Y$ .

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Aparte de los ejemplos degenerados, intuitivamente, parece obvio que $X,Z$ son dependientes dado $Y$ porque dado que ambos $Z$ y $Y$ El valor de $X$ se determina con exactitud. Esto se aplica tanto a las variables aleatorias discretas como a las continuas.

En el caso continuo, para cualquier distribución de $X,Z:\;\;$ $f_{X,Z\mid Y}(x,z\mid y) = 0$ siempre que $x+z\neq y$ pero en general $f_{X\mid Y}(x\mid y)\;f_{Z\mid Y}(z\mid y) \neq 0$ . Esto es suficiente para demostrar que $X,Z$ son dependientes dado $Y$ .