Uso de la probabilidad para calcular la expectativa de una función cdf a trozos

Question

Estoy un poco confundido sobre la función de distribución acumulativa a trozos. ¿Cómo encuentro la expectativa? Esto es lo que se da:

$$F(x)= \begin{cases} 0, &x\le 0\\ x^2, &0<x<1\\ c, &x>1 \end{cases} $$ Lo he resuelto $c = 1$ . He utilizado la fórmula integral para la expectativa:

$$E(X)=\int xf(x)\,dx$$

Pero, ¿tengo en cuenta $c$ ¿también? ¿Cuál sería el límite superior?

Answer 1

Para la función de densidad, tome la derivada de la FCD. $f(x) = 2x,$ para $0 < x< 1$ y $0,$ de lo contrario.

Entonces, según la definición de la media de una variable aleatoria continua los pasos principales son: $$E(X) = \int_0^1 xf(x)\,dx = \int_0^1 x(2x)\,dx = 2/3.$$

Se trata de una distribución beta con parámetros de forma $\alpha=2,\beta=1.$ Deberías poder encontrarlo en un libro de texto de probabilidad, y hay una página de Wikipedia sobre las distribuciones beta.