Dejar caer canicas en un cono

Question

Tengo un cono plano en el que puedo dejar caer canicas. Hay espacio para una canica en la fila de abajo, dos canicas en la fila de arriba, tres canicas arriba, y así sucesivamente.

\         /
 \5      /
  \3 6  /
   \2 4/
    \1/

Una canica con el número $x$ significa que fue el $x$ la canica que se va a dejar caer. Las canicas siguen las leyes de la gravedad, lo que significa que una posición determinada sólo puede ser ocupada por una canica que llega si existe otra canica (o una pared del cono) tanto a su izquierda como a su derecha.

Las canicas pueden apilarse en la parte superior del cono de esta manera:

      8
\    7 4/
 \  6 3/
  \5 2/
   \1/

pero, en este caso, el número máximo de canicas que puedes poner es $16 = 4 \times 4$ . En general, se puede poner $ab$ canicas donde $a$ y $b$ son las longitudes de los lados del cono.

Mi pregunta es, si los lados del cono son de longitud $a$ y $b$ entonces de cuántas maneras se puede dejar caer todo el $ab$ ¿las canicas en el cono? Esto podría resolverse más específicamente para $a = b$ o más generalmente para conos tridimensionales.

(Esta pregunta está inspirada en este que es (en mi opinión) el caso especial $a = b = 3$ .)

Editar: Dado que el caso del cono plano es de fácil biyección con las tablas de Young estándar, como señala @Marcel en la respuesta siguiente, ¿puede alguien sugerir algunas aproximaciones para las tres dimensiones $k$ -¿pirámides de forma gonal? ¿Sólo tetraedros, tal vez?

Answer 1

Sus arreglos de mármol están en fácil bijación con el famoso cuadro estándar de Young con restricciones.

Las tablas de Young se definen para las particiones de números enteros $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,...)$ . El número de piezas se denomina $\ell(\lambda)$ . Los lados de su cono son la primera parte, $a=\lambda_1$ y el número de piezas $b=\ell$ . Ya que debe poner $ab$ canicas, la partición en su caso tiene $b$ partes, todas iguales a $a$ . Esto se suele escribir como $\lambda=(a^b)$ .

El número de cuadros estándar de Young para un determinado $\lambda$ se denota $f^\lambda$ . Puede ver una fórmula explícita aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Hook_length_formula

La cantidad que se busca viene dada por $$f^{(a^b)}=(ab)!\prod_{i=1}^b\frac{(b-i)!}{(a+b-i)!}.$$