Longitud de una curva en un espacio euclidiano de dimensión D

Question

En un libro que estoy leyendo sobre relatividad especial, el elemento de línea infinitesimal se define como $dl^2=\delta_{ij}dx^idx^j$ (convención de suma de Einstein) donde $\delta_{ij}$ es la métrica euclidiana. A continuación, si tenemos alguna curva C entre dos puntos $P_1$ y $P_2$ en este espacio, la longitud de la curva viene dada por $\Delta L = \int_{P_1}^{P_2}dl$

Tengo problemas para derivar la siguiente afirmación, que cito:

Una curva en un espacio euclidiano de D dimensiones puede describirse como un subespacio del espacio D-dimensional donde las coordenadas D coordenadas $x^i$ están dadas por funciones de un solo valor funciones valoradas de algún parámetro $t$ en cuyo caso la longitud de la curva curva de $P_1=x(t_1)$ a $P_2=x(t_2)$ se puede escribir $$\Delta L = \int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\delta_{ij} \dot{x}^i \dot{x}^j} dt \qquad \mbox{where}\; \dot{x}^i\equiv \frac{dx^i}{dt}$$

Answer 1

Puede obtener los resultados correctos si utiliza el propiedad clave de los diferenciales $$dx_i=\dot{x}_i dt.$$ Tenga en cuenta que $\Delta L$ es invariable bajo la reparametrización $t'=f(t)$ como se puede comprobar fácilmente (de hecho, esta es la razón por la que se puede escribir como $\int d\ell$ sin ninguna referencia a una parametrización). Sin embargo, para calcular la longitud $\Delta L$ es aconsejable introducir alguna parametrización (arbitraria). Si estás interesado en parametrizaciones únicas: también existe una parametrización única con respecto a arclength que tiene alguna característica agradable.

Answer 2

Creo que deberías tomar eso como la definición de la palabra "longitud". Yo no trataría de derivarla en absoluto.

Básicamente dice que si, por ejemplo, quieres saber la longitud del círculo unitario en el primer cuadrante, pon

$$x^1 = \cos t$$ $$x^2 = \sin t$$

$$\dot{x}^1 = -\sin t$$ $$\dot{x}^2 = \cos t$$

y hacer

$$\int_0^{\pi/2} \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2}dt = \pi/2$$

Answer 3

Bueno, $\mathrm{d}l$ representa una longitud infinitesimal a lo largo de la curva. $\mathrm{d}t$ también representa una longitud infinitesimal a lo largo de la curva, aunque si las parametrizaciones $t$ y $l$ son diferentes, las dos longitudes infinitesimales no van a ser iguales. Se puede escribir la identidad $\mathrm{d}l = \frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t$ y sustituir en la definición de $\mathrm{d}l$ :

$$\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t = \frac{\sqrt{\delta_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t$$

Ahora bien, como $\mathrm{d}x^{i(j)}$ y $\mathrm{d}t$ son longitudes positivas, puedes hacer una pequeña manipulación algebraica:

$$\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t = \sqrt{\frac{\delta_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j}{\mathrm{d}t^2}}\mathrm{d}t = \sqrt{\delta_{ij}\dot x^i\dot x^j}\mathrm{d}t$$

Esto no es 100% riguroso desde el punto de vista matemático, pero en física pensamos en las derivadas y diferenciales como el límite de longitudes y relaciones finitas, así que al menos tiene sentido físico. Y mientras tu parametrización no sea singular, la matemática debería sostenerse. (Si tienes una parametrización singular, entonces creo que el resultado por el que preguntas sigue siendo válido, aunque tienes que recurrir a matemáticas más precisas para demostrarlo).