Resolver $x_{n} - 3x_{n-1} = -8$ con $n\geq 1$ y $x_0 = 2$

Question

He probado dos métodos que han dado respuestas diferentes:
Método 1:

$$x_{n} - 3x_{n-1} = -8 \\ x_n = 3(3x_{n-2} - 8) - 8 \\ = 3^2 x_{n-2} -8 ( 1+3) \\ = 3^3 x_{n-3} - 8(1+3+3^2) \\ = 3^n x_{0} - 8(1+3+3^2 + \ldots + 3^{n-1}) \\ = 2\times 3^n - 8\left(\frac{3^n - 1}{3-1}\right)\\ = 2\times 3^n - 4(3^n - 1) \\ = -2\times 3^n +4.$$

Método 2:
Resolviendo la ecuación homogénea mediante $x_n = r^n$ ,
$$r^n - 3r^{n-1} = 0 \\ \implies r = 3$$
Así que la solución homogénea es $h_n = a\times 3^n$ para algunos $a\in\mathbb{R}$ .
Con la condición inicial, $h_n = 2\times 3^n$ .

Además, al adivinar la solución particular con $x_n = C$ ,
$$C - 3C = -8 \implies C = 4$$ .

Así, la solución final es
$$x_n = 2\times 3^n + 4.$$

No sé por qué los dos métodos difieren. Parece evidente que el primero da el resultado correcto.

Answer 1

Vía de seguridad

Establecer $v_n =x_n-a$ tal que $v_n$ satisface $$ v_{n+1} =3v_n\Longleftrightarrow x_{n+1}-a =3(x_n-a)$\Longleftrightarrow 3x_{n}-8-a =3(x_n-a) \Longleftrightarrow a=4 $$ Then $$ v_n =3^nv_0 \Longleftrightarrow x_n-4 = 3^n(x_0-4) \Longleftrightarrow \color {rojo}{x_n = -2 \cdot3 ^n +4}$$

Answer 2

Alternativamente siempre se puede comprobar el resultado con funciones generadoras (como aquí y aquí para ver más ejemplos): $$f(t)=\sum\limits_{n=0}x_n\cdot t^{n}=2 + \sum\limits_{n=1}x_n\cdot t^{n}= 2 + \sum\limits_{n=1}(3x_{n-1}-8)\cdot t^{n}=\\ 2 + 3\sum\limits_{n=1}x_{n-1}\cdot t^{n}-8\sum\limits_{n=1} t^{n}=2+3t\sum\limits_{n=1}x_{n-1}t^{n-1}-\frac{8}{1-t}+8$$ o $$f(t)=10+3tf(t)-\frac{8}{1-t} \Rightarrow f(t)=\frac{10}{1-3t}-\frac{8}{(1-t)(1-3t)}=\\ \frac{10}{1-3t}+\frac{4}{1-t} -\frac{12}{1-3t}=\frac{4}{1-t}-\frac{2}{1-3t}$$ o $$f(x)=4\sum\limits_{n=0}t^n-2\sum\limits_{n=0}(3t)^n=\sum\limits_{n=0}\left(\color{red}{4-2\cdot3^n}\right)t^n$$ Así, $$x_n=4-2\cdot3^n$$

Se explican algunos de los atajos aquí .

Answer 3

Para responder a la pregunta de por qué la respuesta del método 2 es incorrecta, el problema es que se intenta averiguar el coeficiente en la parte homogénea de la solución antes de de una solución particular. Esto da un valor incorrecto porque no has tenido en cuenta la parte no homogénea. En cambio, una vez que hayas encontrado $C=4$ en la solución particular, se conecta a $x_n=a\times 3^n+4$ para que coincida con $x_0=2$ : $a\times 3^0+4=2$ ; $a\times 1=2-4=-2$ ; $a=-2$ Así que $x_n=(-2)\times 3^n+4$ .

Answer 4

Este es otro método. Convierte la recurrencia a una forma generalizada de Fibonacci como sigue:

$$ x_n=Ax_{n-1}+B,\quad x_{_0} ~\text{given}\\ x_{n-1}=Ax_{n-2}+B\\ x_n-x_{n-1}=Ax_{n-1}-Ax_{n-2}\\ x_n=(A+1)x_{n-1}-Ax_{n-2},\quad x_{_1}=Ax_{_0}+B $$

Las raíces características de esta ecuación son siempre

$$\alpha,\beta=A,1$$