El límite puntual de una secuencia de funciones semicontinuas superiores es semicontinuo superior. ¿Encuentras el fallo en mi contraejemplo?

Question

Dejemos que $f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ se definirá de la siguiente manera:

$f_n$ está en paz.

$f_n(0) = \frac{1}{2}$

$f_n(x) = 0$ si $0<x< \frac{1}{n}$

$f_n(x) = 1$ si $x> 2/n$

$f_n$ es lineal en $(\frac{1}{n}, \frac{2}{n})$ y continua en $\mathbb{R} - \{0\}$

Creo que cada $f_n$ es USC, pero el límite puntual no lo es. ¿Cómo me equivoco?

Answer 1

Tu ejemplo no tiene nada de malo, lo que está mal es el teorema. Lo que es La verdad es que el mínimo puntual de las funciones semicontinuas superiores es semicontinuo superior, al igual que el límite puntual si la secuencia de funciones no es creciente.

Answer 2

¿Quizás confundes el límite puntual con el mínimo puntual? Si no me equivoco, la sucesión de funciones es creciente puntualmente, por lo que el mínimo es simplemente $f_1(x)$ .

Editar : Última frase corregida según el comentario. Y, tal como señala la respuesta de Brian, el teorema habla del mínimo (puntual) de la secuencia, no del límite puntual (o límite puntual).