Límite de generalización

Question

Me gustaría saber si es posible generalizar este resultado y cómo se podría demostrar:

sabemos que

$$ \begin{align} \lim_{x\to 0^+}x^x & =1;\\ \\ \lim_{x\to 0^+}x^{x^x} & =0;\\ \\ \lim_{x\to 0^+}x^{x^{x^x}}& =1 \end{align} $$

$$\begin{matrix}\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \overbrace{x^{x^{x^{x^{\cdots^{x}}}}}}^{n\text{ times}} \end{matrix}\quad$$

Me gustaría concluir que si $n$ el límite de igualdad es $1,$ y si $n$ es el límite de impar es $0$ ¿es posible?

tanques en los avances

Answer 1

Podemos demostrarlo por inducción en $n$ :

Consideremos la secuencia de la función $0 \leq a_n(x) = x^{a_{n-1}(x)} \leq 1$ .

La inicialización está bien para $n=0$ .

Si $n$ es impar entonces $a_n(x) = x^{a_{n-1}(x)}$ por hipóstasis de inducción $a_{n-1}(x) \rightarrow 1$ entonces para todos $ 1/2\geq a \geq 0$ existe $x_0$ s.t. si $x \geq x_0$ tenemos $a_n(x) \leq x^{1-a} \rightarrow 0$ porque la función $ x \rightarrow c^x$ es decreciente en $(0,1)$ con $c \in (0,1)$ .

Si $n$ es incluso $a_n(x) = x^{x^{a_{n-2}(x)}} \geq x^{x^{1-a}} $ por la misma razón anterior, para $0\leq a \leq 1/2$ . Pero $x^{x^{1-a}} = e^{x^{1-a}ln(x)} \rightarrow 1 $

Y así se completa la inducción y la prueba.