¿Es posible que las variables aleatorias $X_1,\ldots, X_n$ se distribuyan de forma idéntica, pero no ¿Independiente?
Respuesta
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A continuación, el contraejemplo:
Lanza un dado. Deja que $X_1$ sea el indicador de que el dado es impar $\{1, 3, 5\}$ y $X_2$ sea el indicador de que el dado es primo $\{2, 3, 5\}$ .
Entonces $X_1$ y $X_2$ tienen idénticas distribuciones Bernoulli, pero no son independientes como:
$$\mathsf P(X_1=1, X_2=1) = \frac{1}{3} {\quad\neq\quad} \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \mathsf P(X_1=1)\,\mathsf P(X_2=1)$$
Así que no, una serie de variables aleatorias que tienen distribuciones idénticas no significa que sean necesariamente o bien independientes o bien mutuamente excluyentes.
