Cómo aproximar la función exponencial o sub aproximar esta función

Question

Intento encontrar el mínimo de esta función de forma analítica: $$ G(x)=\frac{c(a.x^3+b)}{x}+2(a.x^3+b)\sum_{m=1}^{\infty}\frac{e^{-\beta^2m^2(T-\frac{c}{x})}-e^{-\beta^2m^2T}}{\beta^2m^2} $$ donde $0<x<1$ y todas las demás variables tienen valor positivo. Pero la derivada es muy compleja y no se puede resolver analíticamente. He intentado utilizar la solución del problema de Basal para aproximar la función principal de la siguiente manera: $$ \sum_{m=1}^{\infty}\frac{e^{-\beta^2m^2(T-\frac{c}{x})}-e^{-\beta^2m^2T}}{\beta^2m^2}<\frac{e^{-\beta^2(T-\frac{c}{x})}}{\beta^2}.\frac{\pi^2}{6} $$ para poder escribir: $$ G(x)<\frac{c(a.x^3+b)}{x}+2(a.x^3+b)\frac{e^{-\beta^2(T-\frac{c}{x})}}{\beta^2}.\frac{\pi^2}{6} $$ Luego, traté de resolver la nueva fórmula analíticamente para poder ganar el mínimo del límite superior del $G(x)$ . Pero no pude hacerlo de nuevo.

¿Hay alguna manera de deshacerse de la parte exponencial o hacer algo más para ganar el mínimo de G(x)?

Answer 1

No sé si ayuda, pero creo que esto se puede escribir como: $$ G(x) = (ax^3 + b)\left(\frac{c}{x} + 2\int_0^{\frac{c}{x}}\psi\left(\frac{\beta^2(T - t)}{\pi}\right)\,dt\right) \quad \left(x > \frac{c}{T}\right), $$ o, quizás un poco más simple: $$ F(y) = \left(\frac{ac^3}{y^3} + b\right)\left(y + 2\int_0^y\psi\left(\frac{\beta^2(T - t)}{\pi}\right)\,dt\right) \quad (0 < y < T), $$ donde $\psi$ es la función definida en la página 15 de H. M. Edwards, Función Zeta de Riemann (1974, repr. Dover 2001): $$ \psi(s) = \sum_{m=1}^\infty e^{-m^2{\pi}s} \quad (s > 0). $$ ¿Quizás alguien que sepa algo de funciones theta (yo no, me temo) pueda hacer algo con esto?

En términos de esta notación, que parece ser estándar: $$ \vartheta(s) = \sum_{m=-\infty}^\infty e^{-m^2{\pi}s} \quad (s > 0), $$ las fórmulas son mucho más ordenadas: \begin {reunir*} G(x) = (ax^3 + b) \int_0 ^{ \frac {c}{x}} \vartheta\left ( \frac { \beta ^2(T - t)}{ \pi } \right )\N-\N-Dt \quad \left (x > \frac {c}{T} \right ), \\ F(y) = \left ( \frac {ac^3}{y^3} + b \right ) \int_0 ^y \vartheta\left ( \frac { \beta ^2(T - t)}{ \pi } \right )\N-\N-Dt \quad (0 < y < T) \end {reunir*} ¡que cada vez sospecho más que esto sólo nos ha devuelto al lugar de donde vino el problema en primer lugar! Si es así, ¡lo siento!