Series de rápida convergencia para determinados valores de la función gamma

Question

C. H. Brown encontró algunas series infinitas de rápida convergencia para valores particulares de la función gamma

$$\frac {\Gamma\left(\tfrac 13\right)^6}{12\pi^4}=\frac 1{\sqrt{10}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac {(6k)!}{k!^3(3k)!}\frac {(-1)^k}{160^{3k}3^k}$$$$\frac { \Gamma\left ( \tfrac 14 \right )^4}{128 \pi ^3}= \frac 1{ \sqrt u} \sum\limits_ {k=0}^{ \infty } \frac {(6k)!}{k!^3(3k)!} \frac {(2w)^k}{6486^{3k}} $$ Where$$\begin {align*} & u=273+180 \sqrt2\\ & v=1+ \sqrt {2} \\ & w= \frac {6486^3}{4u^3v^6 \sqrt {2}} \end {align*}$$

Preguntas:

1. ¿Cómo derivó C. Brown estas respectivas fórmulas infinitas?
2. ¿Puedes derivar fórmulas similares para diferentes funciones gamma?

No pude evitar notar que estas fórmulas comparten una similitud con el Algoritmo Chudnovsky $$\frac 1\pi=12\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac {(6k)!}{k!^3(3k)!}\frac {545140134k+13591409}{640320^{k+1/2}}$$ ¿Así que tal vez Brown utilizó la función J y las formas modulares para derivar los valores? $$j(\tau)=\frac 1q+744+196884q+21493760q^2+\cdots$$

Answer 1

Ese enlace de Wikipedia apunta a http://www.iamned.com/math/ que tiene un gran número de fórmulas sorprendentes.

Eso, a su vez, apunta a http://iamned.com/math/infiniteseries.pdf titulado "Un algoritmo para la derivación de series infinitas de rápida convergencia para constantes matemáticas universales".