Problema de la desigualdad de Cauchy-Schwartz

Question

Dejemos que $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f$ sean números reales no negativos.

(a) Demuestre que $$(a^2 + b^2)^2 (c^4 + d^4)(e^4 + f^4) \ge (ace + bdf)^4.$$

(b) Demuestre que $$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)(e^2 + f^2) \ge (ace + bdf)^2.$$

No estoy seguro de cómo debería empezar a enfocar ambos problemas. Creo que debería usar Cauchy-Schwartz, pero no estoy seguro. Se agradece cualquier ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

Ambas son aplicaciones de desigualdad de CS, deberías probarlas tú mismo. Aquí está la primera:

1. $(c^4+d^4)(e^4+f^4) \geqslant (c^2e^2+d^2f^2)^2$
2. $(a^2+b^2)(c^2e^2+d^2f^2) \geqslant (ace+bdf)^2$

Ahora combina los dos para conseguir lo que quieres.

Answer 2

Para (a),
Sólo hay que usar la desigualdad de Holder.

Para (b),
Ampliar $(a^2 + b^2) (c^2 + d^2) (e^2 + f^2) $ . (Equivale al LHS de mi respuesta)
Ampliar $(ace + bdf)^2$ . (Equivale a la RHS de mi respuesta)
El problema es sólo probar $$ a^2 c^2 e^2 + a^2 c^2 f^2 + a^2 d^2 e^2 + a^2 d^2 f^2 + b^2 c^2 e^2 + b^2 c^2 f^2 + b^2 d^2 e^2 + b^2 d^2 f^2 \ge a^2 c^2 e^2 + b^2 d^2 f^2 + 2abcdef $$ o $$ a^2 c^2 f^2 + a^2 d^2 e^2 + a^2 d^2 f^2 + b^2 c^2 e^2 + b^2 c^2 f^2 + b^2 d^2 e^2 \ge 2abcdef \quad \textrm{By cancelling 2 terms on the left and right side.} $$ Ahora, eso es sólo $$ (acf - bde)^2 + a^2 d^2 e^2 + a^2 d^2 f^2 + b^2 c^2 e^2 + b^2 c^2 f^2 \ge 0 $$ Con esto hemos demostrado que la desigualdad es válida para cualquier número real, no sólo para los no negativos.