¿Explicación de la relación entre los segmentos de la hipotenusa y la longitud de los catetos?

Question

   |`
   | `  x
   |  `
   |   ` c
a  | z /`  
   |  /  ` y
   |_/    `
   |/|_____`

       b

Soy nuevo en este SE, pero tengo una cuenta en el SO, así que ¡hola! ¿Pueden todos ver ese increíble triángulo derecho que hice?

Supongamos que z es la altitud que corta la hipotenusa, y x e y son los segmentos de recta resultantes. Esto es lo que mi amigo tenía que decir sobre esto.

$$ z = \sqrt{xy} $$

No puede encontrar $z$ con $a$ y $b$ .

Esto es lo que dije.

De alguna manera, $a$ y $b$ debe estar relacionado con $x$ y $y$ . Al principio pensé que $$\frac{a}{a+b} * c = x$$ Eso fue un error, ya que la altitud no bisectaba el ángulo recto. Pensando un poco, pero no probando, dije esto, que era correcto, AFAIK. Refiérase a esto como PARTE DEL PROBLEMA

$$\frac{a^2}{a^2+b^2} * c = x\\\\\frac{b^2}{a^2+b^2} * c = y $$ Se ha simplificado un poco. $$\frac{a^2}{c^2} * c = x\\\\\frac{b^2}{c^2} * c = y $$ Más. $$\frac{a^2}{c} = x\\\\\frac{b^2}{c} = y $$

Ahora que $a$ y $b$ se utilizaron para encontrar $x$ y $y$ Tengo $z$ con la media geométrica.

$$ z = \sqrt{\frac{a^2}{c} * \frac{b^2}{c}} $$ Eso va para: $$ z = \frac{ab}{c} $$

Todo esto estaba muy bien, pero luego me preguntaron cómo se te ocurrió PARTE DEL PROBLEMA ? Soy bueno reconociendo patrones, no tenía otra explicación real. ¿Hay alguna forma de explicar esto? ¿Es sólo una conjetura no probada?

Mi amigo y yo estamos en octavo grado, pero yo sé trigonometría y estoy aprendiendo calc, y él está aprendiendo trigonometría, pensé que la respuesta podría tener algún tipo de trigonometría. Me parece bien.

Answer 1

$\newcommand{\area}{\operatorname{Area}}$ Como siempre, dejemos que $A,B,C$ sean los vértices opuestos a los lados $a,b$ y $c$ respectivamente. Sea $Z$ sea el vértice restante (es decir, donde la altitud se cruza con la hipotenusa).

Entonces, se dará cuenta de que $$\frac{x}{c}=\frac{\area(\triangle ZBC)}{\area(\triangle ABC)}\quad\text{and}\quad\frac{y}{c}=\frac{\area(\triangle AZC)}{\area(\triangle ABC)}.$$ Esto se debe a que estos triángulos tienen la altitud $ZC$ en común. Por lo tanto, sus áreas son proporcionales a los lados restantes.

Pero las áreas de los tres triángulos rectángulos semejantes son proporcionales a las áreas de los cuadrados sobre sus hipotenusas. Esto da como resultado $$\frac{\area(\triangle ZBC)}{\area(\triangle ABC)}=\frac{a^2}{c^2}\quad\text{and}\quad\frac{\area(\triangle AZC)}{\area(\triangle ABC)}=\frac{b^2}{c^2}.$$ Observando que $c^2=a^2+b^2$ ahora cede su "parte problemática".