Función generadora de probabilidad de una suma de Poisson de variables aleatorias con distribución logarítmica.

Question

Este es el ejercicio 5.2.3 (b) de Mil ejercicios de probabilidad por Grimmett y Stirzaker:

Dejemos que $X_1,X_2,\ldots$ sean variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con la logarítmico función de masa $$f(k) = \frac{(1-p)^k}{k\log(1/p)},\quad k\geqslant 1,$$ donde $0<p<1$ . Si $N$ es independiente del $X_i$ y tiene la distribución de Poisson con parámetro $\mu$ , demuestran que $Y=\sum_{i=1}^N X_i$ tiene una distribución binomial negativa.

He calculado la función generadora de probabilidad de $X_1$ : $$P_X(s) := \mathbb E[s^{X_1}] = \sum_{k=1}^\infty \frac{((1-p)s)^k}{k\log(1/p)} = \frac{\log(1-s(1-p)}{\log p},$$ y se sabe que la función generadora de probabilidad de $N$ es $P_N(s)=e^{\mu(s-1)}$ . Por tanto, la función generadora de probabilidad de $Y$ viene dada por la composición $P_N\circ P_X$ : \begin {alinear} P_Y(s) &= P_N(P_X(s)) \\ &= P_N \left ( \frac { \log (1-s(1-p)}{ \log p} \right ) \\ &= e^{ \mu\left ( \left ( \frac { \log (1-s(1-p)}{ \log p} \right )-1 \right )}. \tag1 \end {align} La solución proporcionada escribe esto en la forma $$G_Y(s) = \left(\frac p{1-s(1-p)} \right)^{-\mu/\log p}.\tag2$$ No veo cómo $(1)$ equivale a $(2)$ ¿alguna pista?

Answer 1

$$e^{\mu\left(\left(\frac{\log(1-s(1-p))}{\log p}\right)-1\right)} = e^{\frac{\mu}{\log p} \left( \log(1-s(1-p))-\log p\right)} = e^{\frac{\mu}{\log p} \left(\log\left(\frac{1-s(1-p)}{p}\right)\right)} = e^{\log\left(\left(\frac{1-s(1-p)}{p}\right)^{\frac{\mu}{\log p}}\right)} = \left(\frac{1-s(1-p)}{p}\right)^{\frac{\mu}{\log p}} = \left(\frac{p}{1-s(1-p)}\right)^{-\frac{\mu}{\log p}}$$