Me encontré con un poblema en el que te piden que encuentres una estimación de $\sum_{n \leq x} \frac{k(n)}{n}$ con $k(n) = \prod_{p \mid n} p$ el núcleo libre de cuadrados de $n$ con un término de error de $O(\sqrt{x})$ .
He trabajado en ello durante un tiempo, pero no soy capaz de encontrar una solución. ¿Alguien conoce una solución?
Este es un ejercicio de la "Introducción a la teoría analítica y probabilística de los números" de Tenenbaum. Tiene una pista que es un ejercicio precedente.
En primer lugar, consideremos una descomposición del número de potencia( $p|n\Rightarrow p^2|n$ ). Si $n$ está lleno de energía, entonces $n$ puede escribirse de forma única como $n=m^3d^2$ donde $m$ es libre de cuadrados. (Esto es de un ejercicio anterior sobre números llenos de potencia)
Además, cualquier número natural $n$ puede escribirse de forma única como $n=m m_f$ donde $m$ es libre de cuadrados, y $m_f$ está lleno de energía. Eso obliga a $(m,m_f)=1$ .
Ahora, partimos de descomponer la suma en sumas sobre $m$ y $m_f$ : $$ \sum_{n\leq x}\frac{k(n)}{n}=\sum_{m_f\leq x}\sum_{\substack{{m\leq \frac{x}{m_f}} \\\ {(m,m_f)=1}}} \frac{k(mm_f)}{mm_f}$$ $$=\sum_{m_f\leq x}\sum_{\substack{{m\leq \frac{x}{m_f}} \\\ {(m,m_f)=1}}} \frac{k(m_f)}{m_f}$$ $$=\sum_{m_f\leq x}\frac{k(m_f)}{m_f}\sum_{\substack{{m\leq \frac{x}{m_f}} \\\ {(m,m_f)=1}}} 1$$
Por cierto, tenemos lo siguiente $$ \sum_{\substack{{n\leq x} \\\ {n: \textrm{ square free} }\\\ {(n,q)=1} }}1 = \frac{6}{\pi^2}\prod_{p|q} \left(1+\frac{1}{p}\right)^{-1} x +O(\sqrt x)$$
Lo sustituimos por la suma de $m$ : $$ \sum_{m_f\leq x}\frac{k(m_f)}{m_f}\sum_{\substack{{m\leq \frac{x}{m_f}} \\\ {(m,m_f)=1}}} 1=\sum_{m_f\leq x}\frac{k(m_f)}{m_f}\left(\frac{6}{\pi^2}\prod_{p|m_f}\left(1+\frac 1 p\right)^{-1}\frac{x}{m_f}+O(\frac{\sqrt x}{\sqrt{m_f}})\right)$$
El término de error en la suma interna contribuye a $$\ll \sum_{m_f\leq x} \frac{1}{m_f} \sqrt x$$ Utilice la primera observación sobre el número completo de la potencia para deducir que esto contribuye a $$\ll \sqrt x$$
El término de error proviene de $\sum_{m_f > x}$ en el término principal de la suma interna, contribuye a $$\ll \sum_{m_f > x} \frac{1}{m_f^{3/2}}\ll \sqrt x$$
Por lo tanto, nos quedamos con $$ x\sum_{m_f }\frac{k(m_f)}{m_f}\left(\frac{6}{\pi^2}\prod_{p|m_f}\left(1+\frac 1 p\right)^{-1}\frac{1}{m_f}\right)+O(\sqrt x)$$
Utilizando el producto de Euler, la suma anterior se convierte en $$C=\prod_p \left(1-\frac{1}{p(p+1)}\right)$$
Por lo tanto, $$ \sum_{n\leq x}\frac{k(n)}{n}= Cx+O(\sqrt x)$$
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