Hiperelipsis: Encuentra las longitudes del centro a los lados a lo largo de diferentes bases ortogonales

Question

Supongamos que tengo una hiperelipsis (orientada arbitrariamente) en $\mathbb{R}^n$ cuyos vectores de los ejes principales conozco. Quiero encontrar las longitudes de los $n$ vectores a lo largo de la base ortogonal del sistema de coordenadas que tocan la superficie del hiperelipsoide. ¿Tienes alguna idea de cómo lograr esto?

Adjunto una pequeña imagen en dos dimensiones para que quede claro. Sé que $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ y me gustaría encontrar $\overrightarrow{x}$ y $\overrightarrow{y}$ (y sus equivalentes de mayor dimensión).

Answer 1

Esencialmente se buscan las intersecciones de los ejes de coordenadas con el elipsoide. Puedes encontrarlas poniendo a cero todas las variables de la ecuación cartesiana implícita del elipsoide menos una. No lo has dicho explícitamente, pero asumo por simplicidad que el elipsoide está centrado en el origen. Su ecuación implícita se puede representar en forma de matriz como $$\mathbf x^TQ\mathbf x=1, \tag1$$ donde $Q$ es una matriz positiva-definida. Tenemos entonces para las intersecciones con la $x_i$ eje $$(0,0,\dots,x_i,\dots,0)\,Q\,(0,0,\dots,x_i,\dots,0)^T = q_{ii}x_i^2 = 1,$$ de la cual $x_i = q_{ii}^{-1/2}$ es decir, la raíz cuadrada recíproca del elemento diagonal correspondiente de $Q$ . (Si se amplía la ecuación (1), $q_{ii}$ es el coeficiente del $x_i^2$ plazo).

Entonces, ¿cómo encontrar estos coeficientes? Una forma es construir $Q$ . Los vectores de los ejes principales forman una base ortogonal en la que el elipsoide es una esfera; su matriz en esa base es simplemente la matriz de identidad. Si $P$ es la matriz con estos vectores como columnas, $P$ mapea desde esta base a la base estándar, por lo que la matriz del elipsoide en la base estándar es $$P^{-T}IP^{-1} = P^{-T}P^{-1} = (PP^T)^{-1}. \tag2$$ La última forma puede no ser la más conveniente para el cálculo, ya que requiere calcular toda la matriz cuando sólo se necesitan los elementos diagonales.

Se puede evitar una inversión de la matriz aprovechando la ortogonalidad de $P$ de las columnas. Factor $P$ en $UD$ , donde $U$ es $P$ con sus columnas $\mathbf p_i$ normalizado y $D$ es una matriz diagonal con $d_{ii} = \|\mathbf p_i\|$ . Entonces tenemos $$PP^T = (UD)(UD)^T = UD^2U^T$$ y $$(PP^T)^{-1} = (UD^2U^T)^{-1} = U(D^2)^{-1}U^T. \tag3$$ Los elementos diagonales de $(D^2)^{-1}$ son, por supuesto, simplemente $1/\|\mathbf p_i\|^2 = 1/(\mathbf p_i\cdot\mathbf p_i)$ .

Por ejemplo, digamos que tenemos $\mathbf p_1 = (6,2)^T$ y $\mathbf p_2 = (-1,3)^T$ . Entonces $$(PP^T)^{-1} = \begin{bmatrix}37&9\\9&13\end{bmatrix}^{-1} = \frac1{400} \begin{bmatrix}13&-9\\-9&37\end{bmatrix},$$ y así el $x$ - y $y$ -los intersticios son ${20\over\sqrt{13}}$ y ${20\over\sqrt{37}}$ respectivamente.

Si el elipsoide no está centrado en el origen, también se puede utilizar un proceso similar. Terminarás con una ecuación cuadrática en $x_i$ para las intercepciones, que, por supuesto, pueden tener una o ninguna solución.